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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 80

(Continuação do Exemplo 10.)

  1. Demonstre por meio do cálculo da integral na expressão

    2. 1 1 / 60 - 0 ∫ 0 1 / 60 V m a x sin ⁡ 120 π t d t  

    que o valor médio de V = V m a x sin ⁡ 120 π t sobre um ciclo completo é zero.

  2. O circuito que faz seu forno elétrico funcionar é padronizado para 240 v o l t s r m s . Qual é o valor do pico de voltagem permissível?
  3. Demonstre que

∫ 0 1 / 60 V m a x 2 sin 2 ⁡ 120 π t d t = V m a x 2 120

Passo 1

O objetivo da letra a.) é resolver a integral proposta. A primeira coisa que vamos fazer é tirar todas as constantes para fora da integral:

1 1 / 60 - 0 ∫ 0 1 / 60 V m a x sin ⁡ 120 π t d t = 60 V m a x ∫ 0 1 / 60 sin ⁡ 120 π t d t

Calculando a integral:

60 V m a x ∫ 0 1 / 60 sin ⁡ 120 π t d t = 60 V m a x - cos ⁡ 120 π t 120 π t ' 0 1 60

60 V m a x - cos ⁡ 120 π t 120 π 0 1 60 = 60 V m a x 120 π - cos ⁡ 120 π t 0 1 60 = V m a x 2 π - cos ⁡ 120 π t 0 1 60

V m a x 2 π - cos ⁡ 120 π ∙ 1 60 - - cos ⁡ 120 π ∙ 0 = V m a x 2 π - cos ⁡ 2 π - - cos ⁡ 0

V m a x 2 π - cos ⁡ 2 π + cos ⁡ 0 = V m a x 2 π - 1 + 1 = 0

Portanto, o valor da média da voltagem sobre um ciclo completo é realmente zero.

Passo 2

Na letra b.) precisamos encontrar a voltagem máxima permitida. Como r m s significa raíz da média quadrática, portanto:

1 1 / 60 - 0 ∫ 0 1 / 60 V m a x 2 sin 2 ⁡ 120 π t d t = V m a x 2 2

Assim,

V r m s = V m a x 2 2 = V m a x 2

Como a voltagem r m s é 240 . O pico de voltagem é:

V m a x = 2 V r m s = 2 ∙ 240 = 340   v o l t s

Passo 3

Já na letra c.) ele pede para realizarmos uma demonstração da integral abaixo:

∫ 0 1 / 60 V m a x 2 sin 2 ⁡ 120 π t d t

Assim, vamos tirar as constantes de dentro da integral:

∫ 0 1 / 60 V m a x 2 sin 2 ⁡ 120 π t d t = V m a x 2 ∫ 0 1 / 60 sin 2 ⁡ 120 π t d t

Lembrando das relações trigonométricas:

sin 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Logo,

V m a x 2 ∫ 0 1 60 sin 2 ⁡ 120 π t d t = V m a x 2 ∫ 0 1 60 1 - cos 2 ⁡ 120 π t d t

V m a x 2 ∫ 0 1 60 1 - cos 2 ⁡ 120 π t d t = V m a x 2 ∫ 0 1 60 1 - 1 + cos ⁡ 2 ∙ 120 π t 2 d t

V m a x 2 ∫ 0 1 60 1 - cos ⁡ 240 π t 2 d t = V m a x 2 2 ∫ 0 1 60 1 - cos ⁡ 240 π t d t

Separando em integrais distintas:

V m a x 2 2 ∫ 0 1 60 1 - cos ⁡ 240 π t d t = V m a x 2 2 ∫ 0 1 60 d t - ∫ 0 1 60 cos ⁡ 240 π t d t

Calculando a integral:

V m a x 2 2 ∫ 0 1 60 d t - ∫ 0 1 60 cos ⁡ 240 π t d t = V m a x 2 2 t - sin ⁡ 240 π t 240 π t ' 0 1 60 =

V m a x 2 2 t - sin ⁡ 240 π t 240 π 0 1 60 = V m a x 2 2 1 60 - sin ⁡ 240 π ∙ 1 60 240 π - 0 - sin ⁡ 240 π ∙ 0 240 π

V m a x 2 2 1 60 - sin ⁡ 4 π 240 π + sin ⁡ 0 240 π = V m a x 2 2 1 60 = V m a x 2 1 2 0

Resposta

  1. Demonstração
  2. 340   v o l t s
  3. Demonstração
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