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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 27

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x

y = 1 2 x

y = 0

x = 1 4

x = 4

Passo 1

A curva que ele deu é:

y = 1 2 x

Essa função e meio doida de fazer o gráfico, mas como ele deu os limites de x , no fundo é só integrarmos a função nesse intervalo com a fórmula do volume, mas vou te mostrar o esboço para ver como é:

A região é entre a curva verde e a azul, limitada inicialmente pela laranja e no final pela vermelha.

Entao a região vai de x = 1 4 até x = 4 . Onde o raio do disco vai ser a função verde:

r x = 1 2 x

O volume vai ser:

V = ∫ 1 4 4 π 1 2 x 2 d x

Como estamos pegando valores positivos de x nesse intervalo, quando fizermos a raiz quadrado vamos ter:

x 2 = x

Sem necessidade do módulo que deveríamos colocar porque é positivo.

V = ∫ 1 4 4 π 4 x d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 1 4 4 π 4 x d x

V = π ∫ 1 4 4 1 4 x d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ 1 4 x d x = 1 4 ∫ 1 x d x = ln ⁡ x 4 + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ 1 4 4 1 4 x d x = π ln ⁡ x 4 1 4 4 =

π ln ⁡ 4 4 - π ln ⁡ 1 4 4 =

Usando propriedades de log, vamos ter:

ln ⁡ 4 = ln ⁡ 2 2 = 2 ln ⁡ 2

ln ⁡ 1 4 = ln ⁡ 4 - 1 = - ln ⁡ 4 = - 2 ln ⁡ 2 = - 2 ln ⁡ 2

Vamos ter:

π 2 ln ⁡ 2 4 - π - 2 ln ⁡ 2 4 =

π ln ⁡ 2 2 + π ln ⁡ 2 2

π ln ⁡ 2

Resposta

π ln ⁡ 2

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