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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.3 - Ex. 56

(Continuação do Exercício 55.) Use o resultado do Exercício 55 para determinar quais das séries a seguir convergem e quais divergem. Justifique a sua resposta em cada caso.

  1. ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n
  2. ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 1,01
  3. ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 3
  4. ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 3

Passo 1

EAEEEE PESSOAL, agora temos o valor das constantes p do exercício anterior, então basta verificar o que fizemos no exercício anterior!

∫ 2 ∞ d x x ln ⁡ x p = 1 p - 1 ln ⁡ 2 - p + 1 ,   s e   p > 1   c o n v e r g e ∞ ,   p ≤ 1   d i v e r g e

  1. Para p = 1 , a série diverge.

  2. Para p = 1,01 , a série converge.

  3. Vamos manipular essa um pouquinho utilizando uma propriedade dos logaritmos:

    4. ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 3 = ∑ n = 2 ∞ 1 n 3 ln ⁡ n 1 = 1 3 ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n

    Então, p = 1 , a série diverge.

  4. Para p = 3 , a série converge.

Resposta

  1. Diverge
  2. Converge
  3. Diverge
  4. Converge

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