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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.3 - Ex. 58

Use o teste da integral para mostrar que a série

∑ n = 0 ∞ e - n 2

converge.

Passo 1

Fala galera, bora fazer o teste da comparação para integrais impróprias.

∑ n = 0 ∞ e - n 2 = 1 + ∑ n = 1 ∞ e - n 2

Precisamos determinar o limite da integral para sabe se ela converge ou não, mas vamos escolher um integral que sabemos fazer mais facilmente para resolver isso. Pelo método da comparação sabemos que e - x 2 ≤ e - x para x ≥ 1 , então:

∫ 1 ∞ e - x d x = lim b → ∞ ⁡ - e - x 1 b = l i m b → ∞ - e - b + e - 1 = e - 1

Portanto, ∫ 1 ∞ e - x 2 d x converge.

Resposta

Demonstração

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