Enunciado

Controle de uma população. O departamento de caça e pesca de determinado estado planeja emitir licenças de caça para controlar a população de cervos (um cervo por licença). Sabe-se que, se a população de cervos cair abaixo de certo nível m , os cervos serão extintos. Sabe-se também que, se a população de cervos cresce acima da capacidade de carga M , então a população decrescerá de volta a M por doença e desnutrição.

  1. Discuta a razoabilidade do modelo a seguir em relação à taxa de crescimento da população de cervos em função do tempo:
  2. d P d t = r P ⋅ M - P ⋅ ( P - m )

    onde P é a população de cervos e r é uma constante positiva de proporcionalidade.

    Inclua uma reta de fase.

  3. Explique por que esse modelo difere do modelo logístico d P / d t   =   r P ( M   -   P ) . Esse modelo é melhor ou pior do que o modelo logístico?
  4. Mostre que se P > M para todo t , então lim t → ∞ ⁡ P ( t ) = M .
  5. O que acontece se P < m para todo t ?
  6. Discuta as soluções para a equação diferencial. Quais são os pontos de equilíbrio do modelo? Explique a dependência do valor de equilíbrio de P em relação aos valores iniciais P . Quantas licenças devem ser emitidas?

Passo 1

Para discutirmos a razoabilidade do modelo a seguir incluindo a reta de fase vamos ter que avaliar o seguinte: temos 3 pontos de equilíbrio (pontos onde d p d t = 0 ) que são P   =   0 ,   P   =   M   e   P   =   m e pela descrição dada no enunciado temos :

  • Se p < m ,então , P → 0 quando o tempo tender ao infinito;
  • Agora, se m < P < M , então, P → M a medida que o tempo cresce;
  • Por fim, se P > M , então, P → M quando o tempo for tendendo para o infinito;

Assim, podemos construir a seguinte reta de fase

Passo 2

O modelo é diferente do modelo logístico pois se a população cair abaixo de m isso vai nos levar a uma extinção da população. Esse modelo é provavelmente mais realista pois sabemos que algumas populações foram extintas quando sua população se tornou muito baixa.

Passo 3

Através da fórmula dada podemos observar que se P > M teremos d p d t < 0 . Portanto, a curva está decrescendo. Agora, se observarmos quando P ≡ M temos uma solução da equação diferencial, como essa equação satisfaz as condições de existência e unicidade as trajetórias não podem se cruzar, então, P → M quando t → ∞ .

Passo 4

A população tenderá a se extinguir como foi falado no enunciado.

Passo 5

Os pontos de equilíbrio para a equação diferencial dada são: P   =   0 ,   P   =   M   e   P   =   m e a quantidade de licenças a serem emitidas deve ser concedida de tal forma que P se mantenha entre m e M , assim não corre risco de se extinguir e nem dos animais morrerem por fome e/ou desnutrição.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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