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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.4 - Ex. 12

As equações diferenciais autônomas representam modelos de crescimento populacional. Use a análise da reta de fase para esboçar curvas integrais P ( t ) , selecionando diferentes valores iniciais P ( 0 ) . Quais equilíbrios são estáveis e quais são instáveis?

d P d t = 3 P ⋅ 1 - P ⋅ P - 1 2

Passo 1

A questão nos pergunta sobre os pontos de equilíbrio e, para isso, precisamos primeiramente definir como buscar um ponto de equilíbrio e como saber se ele é estável ou instável, assim, temos a seguinte definição: “Dada uma equação diferencial que dependa apenas de uma variável (normalmente y ) os pontos para os quais d y d t = 0 são chamados de pontos de equilíbrio ou estacionários”. Além disso, esse ponto pode ser estável ou instável e isso a gente avalia através dos pontos marcados da reta de fase, se antes e depois de um número marcado na reta de fase a tendência for que os valores se aproximem dele esse ponto é dito estável, caso contrário é instável.

Passo 2

Sendo assim, vamos encontrar os pontos de equilíbrio fazendo d P d t = 0

3 P ⋅ 1 - P ⋅ P - 1 2 = 0

P = 0 ,   P = 1   o u   P = 1 2

Encontrando a segunda derivada, vamos ter

d 2 P d t 2 = 3 ⋅ 1 - P P - 1 2 - 3 P ⋅ P - 1 2 + 3 P ⋅ ( 1 - P ) ⋅ d P d t

d 2 P d t 2 = 3 ⋅ 1 - P P - 1 2 - 3 P ⋅ P - 1 2 + 3 P ⋅ ( 1 - P ) ⋅ 3 P ⋅ 1 - P ⋅ P - 1 2

De posse de todos esses pontos podemos desenhar a reta de fase marcando os pontos de equilíbrio e depois poderemos marcar os pontos os a primeira derivada é maior e menor do que 0, além disso, temos de marcar na reta os pontos onde a segunda derivada é maior e menor do que 0. Assim poderemos marcar as tendências em relação aos pontos de equilíbrio

Dessa forma, podemos inferir que P = 0     e   P = 1 são pontos de equilíbrio estável e P = 1 2 é ponto de equilíbrio instável.

Passo 3

Agora que fizemos a reta de fase podemos desenhar retas horizontais nos pontos de equilíbrio e desenhar as curvas integrais de acordo com as tendências apresentadas na reta, portanto, teremos

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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