Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 14c
14. Suponha que determinada população tem uma taxa de crescimento que varia com o tempo e queessa população satisfaz a equação diferencial
dy/dt =(0,5 + sen t)y/5.
(a) Se y(0) = 1, encontre (ou estime) o instante τ no qual a população dobrou. Escolha outrascondições iniciais e determine se o tempo de duplicação τ depende da população inicial.(b) Suponha que a taxa de crescimento é substituída pelo seu valor médio 1/10. Determine otempo de duplicação τ nesse caso.(c) Suponha que o termo sen t na equação diferencial é substituído por sen(2πt); ou seja, avariação na taxa de crescimento tem uma frequência substancialmente mais alta. Qual o efeitodisto no tempo de duplicação τ?(d) Faça o gráfico das soluções obtidas nos itens (a), (b) e (c) em um único conjunto de eixos.
Passo 1
Então temos a equação
Queremos saber quando o nosso y dobra de valor. Bem pra começar temos uma boa notícia, essa é uma equação separável (ou seja, podemos jogar tudo que é y para um lado e tudo o que é t para o outro) .
Uma das mais tranquilas de se resolver olhando de forma geral dentre as equações diferenciais. Então, beleza! Vamos cair \o/
Passo 2
Já calculamos essa integral antes e ficamos com
Vamos integrar em ambos os lados
Podemos manipular a constante arbitraria, de forma que ela fique assim
Show! Conseguimos descobrir nossa equação!!!
Passo 3
Agora só nos resta usar os dados de contorno para encontrarmos C
y(0) = 1
Com isso nossa equação fica
Com isso nossa equação se conclui como
Passo 4
Agora como queremos que nossa população dobre entoa nossa função vai ser
Não existe solução analítica dessa função, mas podemos fazer uma solução geométrica. Cruzar as curvas e e ver os pontos de interseção
Logo nosso .
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )