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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 72

Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

72. a n =   ( 1   -   1 n 2 ) n

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo de boas? Que ótimo! Então, bora lá para mais uma resolução!

Nessa questão, o que nós temos que fazer para descobrir se a sequência é convergente é calcular o limite quando n → ∞ e ver se esse limite existe. Você provavelmente está confuso em como tomar o limite de uma coisa elevada a n . Por sorte, tem um truque que nós podemos usar que é tomar o logaritmo dos dois lados da equação:

a n =   ( 1   -   1 n 2 ) n

Então, a gente fica com o seguinte

l n a n = l n   ( 1   -   1 n 2 ) n = n l n ( 1   -   1 n 2 ) = l n ( 1   -   1 n 2 ) 1 / n

Passo 2

Agora vamos tentar entender o comportamento da última equação quando n → ∞ . Nós temos

l i m n → ∞ 1 n = 0

l i m n → ∞ 1 n 2 = 0

Então,

l i m n → ∞ ( 1   -   1 n 2 ) = 1

Ou seja,

l i m n → ∞ l n ( 1   -   1 n 2 ) = l n ( 1 ) = 0

Então, basicamente temos uma indeterminação do tipo 0 0 no limite

l i m n → ∞ l n a n = l i m n → ∞ l n ( 1   -   1 n 2 ) 1 / n

Passo 3

Para esse tipo de indeterminação só tem um remédio: a regra de L’Hôpital. Então, derivando o numerador e denominador, a gente fica com

l i m n → ∞ l n a n = l i m n → ∞ d d n l n ( 1   -   1 n 2 ) d d n ( 1 / n ) = l i m n → ∞ ( 1   -   1 n 2 ) - 1 ⋅ 2 n 3 -   1 n 2 = - l i m n → ∞ 2 n 3 n 2 ( 1   -   1 n 2 )

⇒ l i m n → ∞ l n a n = - l i m n → ∞ 2 n n 2 ( n 2   -   1 ) = - l i m n → ∞ 2 n ( n 2   -   1 )

Opa! Agora ficamos com uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . Então, vamos usar L’Hôpital novamente:

l i m n → ∞ l n a n = - l i m n → ∞ d d n ( 2 n ) d d n ( n 2   -   1 ) = - l i m n → ∞ 2 2 n = 0

⇒ l i m n → ∞ l n a n = 0

Então, tomando a função exponencial nos dois lados, vemos que

l i m n → ∞ a n = e 0 = 1

Até a próxima pessoal!

Resposta

Convergente. l i m n → ∞ a n = 1

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