Convergência e divergência: Quais das sequências {a_n} nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

75. a_n = tgh(n)

Passo 1

Fala, galerinha! Tudo bem? Então, sem mais delongas, vamos partir para mais uma questão.

Para descobrir se a sequência diverge ou converge, temos que tomar o limite n → ∞ e ver se ele existe. Eu sei que vocês querem logo partir pra ação, mas antes disso vamos lembrar da definição da função tangente hiperbólico:

t g h   x = e x   -   e - x e x   +   e - x

Então, os termos da sequência vão ficar assim:

a n = t g h   n = e n   -   e - n e n   +   e - n

Passo 2

Beleza, e agora? Antes de tomar o limite, vamos lembrar que

l i m n → ∞ e n → ∞

l i m n → ∞ e - n = 0 .

O que a gente escreveu nas equações acima é apenas o comportamento padrão da função exponencial, então a gente vai usar sem provar o resultado. Para não ter nenhum problema na hora de calcular o limite, vamos usar o truque de multiplicar e dividir por e - n :

a n = e n   -   e - n e n   +   e - n ⋅ e - n e - n = 1   -   e - 2 n 1   +   e - 2 n

Pronto, agora temos tudo que é necessário para tomar o limite.

Passo 3

Olha só, o limite de e - 2 n quando n → ∞ continua dando zero porque o expoente continua indo a - ∞ :

l i m n → ∞ e - 2 n = l i m n → ∞ 1 e 2 n = 0 .

Então, a gente fica com

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ 1   -   e - 2 n 1   +   e - 2 n = l i m n → ∞ ( 1   -   e - 2 n ) l i m n → ∞ ( 1   +   e - 2 n ) = 1   -   0 1   +   0 = 1

Prontinho! A gente acabou de ver que a sequência converge para 1 . Gostou desta resolução? Responde Aí!

Resposta

Convergente. l i m n → ∞ a n = 1

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