Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 85
Convergência e divergência: Quais das sequências nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
85.
Passo 1
Fala, galera! Bora lá para mais uma questão?
A questão pede pra gente descobrir se a sequência converge e, caso sim, qual é o limite dela. Para isso, precisamos calcular o limite da sequência quando . Bom, a definição dessa sequência parece um pouco assustadora, mas fica tranquilo que nós vamos conseguir resolver.
Se a gente tomar o limite da sequência, vamos ter uma indeterminação do tipo :
Então, vamos precisar aplicar a regra de L’Hôpital. Se liga aí no próximo passo.
Passo 2
Aplicando a regra de L’Hôpital, nós ficamos com
Opa! Ficamos com uma indeterminação do tipo . Então, vamos aplicar L’Hôpital de novo:
Ok, parece que vamos ter que aplicar L’Hôpital mais umas 197 vezes 😂. Bom, claro que não vamos fazer isso 197 vezes, mas vamos observar que a cada vez terminamos com algo do tipo
Então, temos que parar quando o expoente de for , ou seja, quando :
Passo 3
Prontinho, agora só precisamos do limite
Mas já temos o resultado nesse limite na fórmula 1 do Teorema 5:
Muito bem, agora só precisamos substituir isso no limite da sequência
Então, a sequência converge para . E aí, gostou desta resolução? Responde Aí!
Resposta
Convergente.