Convergência e divergência: Quais das sequências {a_n} nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

83. a_n = (1 / 3)^n + 1 / raiz(2^n)

Passo 1

Tudo bem, galera? Ótimo! Então, me acompanha aí em mais uma resolução!

Para saber se a sequência converge, nós vamos seguir o mesmo raciocínio das outras questões: calcular o limite da sequência quando n → ∞ , ver se esse limite existe, ou seja, assume um determinado valor e é finito, ou seja, não tende a ± ∞ . Se sim, podemos concluir que a sequência é convergente.

Para facilitar as coisas, vamos separar a sequência como a soma de outras duas sequências:

a n = ( 1 3 ) n + 1 2 n = b n + c n

com b n = ( 1 3 ) n e c n = 1 2 n .

Passo 2

Pela fórmula 1 do Teorema 1, a soma dos limites é igual o limite da soma:

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ ( b n + c n ) = l i m n → ∞ b n + l i m n → ∞ c n

Então, só precisamos encontrar o limite de b n , c n . Para b n , vamos usar a fórmula 4 do Teorema 5, que diz que

l i m n → ∞ x n = 0 ,   | x | < 1

A sequência b n = ( 1 3 ) n está inclusa nessa fórmula porque 1 3 < 1 . Ou seja,

l i m n → ∞ b n = l i m n → ∞ ( 1 3 ) n = 0

Já para c n , nós precisamos notar primeiro que

c n = 1 2 n = 1 2 n

Então, usando o mesmo resultado da fórmula 4 do Teorema 5, dá pra mostrar que

l i m n → ∞ c n = l i m n → ∞ 1 2 n = l i m n → ∞ 1 2 n = 0

Passo 3

Agora que a gente já viu que

l i m n → ∞ b n = l i m n → ∞ c n = 0 ,

então podemos obter

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ ( b n + c n ) = 0

Prontinho! Mostramos que a sequência convergente para 0 .

E aí, gostou dessa questão? Responde Aí!

Resposta

Convergente. l i m n → ∞ a n = 0

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