Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 83
Convergência e divergência: Quais das sequências nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
83.
Passo 1
Tudo bem, galera? Ótimo! Então, me acompanha aí em mais uma resolução!
Para saber se a sequência converge, nós vamos seguir o mesmo raciocínio das outras questões: calcular o limite da sequência quando , ver se esse limite existe, ou seja, assume um determinado valor e é finito, ou seja, não tende a . Se sim, podemos concluir que a sequência é convergente.
Para facilitar as coisas, vamos separar a sequência como a soma de outras duas sequências:
com e .
Passo 2
Pela fórmula 1 do Teorema 1, a soma dos limites é igual o limite da soma:
Então, só precisamos encontrar o limite de . Para , vamos usar a fórmula 4 do Teorema 5, que diz que
A sequência está inclusa nessa fórmula porque . Ou seja,
Já para , nós precisamos notar primeiro que
Então, usando o mesmo resultado da fórmula 4 do Teorema 5, dá pra mostrar que
Passo 3
Agora que a gente já viu que
,
então podemos obter
Prontinho! Mostramos que a sequência convergente para .
E aí, gostou dessa questão? Responde Aí!
Resposta
Convergente.