Convergência e divergência: Quais das sequências {a_n} nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

71. a_n = (x^n) / (2n + 1)^(1/n), x > 0

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo beleza?

Dando continuidade aqui nas nossas questões, temos que descobrir se a sequência dada é convergente ou divergente. Para descobrir isso, precisamos saber como a n se comporta para valores muitos grandes de n , ou seja, temos que tomar o limite

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞   ( x n 2 n   +   1 ) 1 n .  

Mas, antes temos que notar que

a n =   ( x n 2 n   +   1 ) 1 n = x   ( 1 2 n   +   1 ) 1 n ,

onde nós tiramos o x da raiz enésima sem mudar o sinal porque ele é positivo.

Passo 2

Agora, como x vai ficar fixo quando tomamos o limite n → ∞ , então podemos tratá-lo como se fosse uma constante. Lembrando que o limite de uma constante vezes uma função é a constante vezes o limite da função:

l i m n → ∞ a f ( n ) = a l i m n → ∞ f ( n ) ,  

e usando a = x e f ( n ) = ( 1 2 n   +   1 ) 1 n , nós ficamos com

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ x   ( 1 2 n   +   1 ) 1 n = x l i m n → ∞   ( 1 2 n   +   1 ) 1 n .  

Passo 3

Agora a gente só precisa calcular o limite de   b n = ( 1 2 n   +   1 ) 1 n . Para fazer isso, nós precisamos usar o truque de aplicar o logaritmo em ambos os lados:

  l n b n = l n ( 1 2 n   +   1 ) 1 n = - 1 n l n ( 2 n   +   1 )

Como o limite

  l i m n → ∞ l n b n = - l i m n → ∞ l n ( 2 n   +   1 ) n

é do tipo ∞ ∞ , a gente precisa usar a regra de L'Hôpital:

  - l i m n → ∞ d d n [ l n ( 2 n   +   1 ) ] d d n [ n ] = - l i m n → ∞ 2 2 n   +   1 1 = - l i m n → ∞ 2 2 n   +   1 = 0

Então, para obter o valor do limite de b n a gente aplica a função exponencial dos dois lados:

b n = e 0 = 1   ⇒ b n = 1

Voltando para a nossa sequência inicial, a gente fica com

l i m n → ∞ a n = x l i m n → ∞   ( 1 2 n   +   1 ) 1 n = x ⋅ 1 = x  

⇒ l i m n → ∞ a n = x

Por enquanto é só, nos vemos na próxima!

Resposta

Convergente. l i m n → ∞ a n = x

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