Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 71
Convergência e divergência: Quais das sequências nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
71.
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo beleza?
Dando continuidade aqui nas nossas questões, temos que descobrir se a sequência dada é convergente ou divergente. Para descobrir isso, precisamos saber como se comporta para valores muitos grandes de , ou seja, temos que tomar o limite
Mas, antes temos que notar que
onde nós tiramos o da raiz enésima sem mudar o sinal porque ele é positivo.
Passo 2
Agora, como vai ficar fixo quando tomamos o limite , então podemos tratá-lo como se fosse uma constante. Lembrando que o limite de uma constante vezes uma função é a constante vezes o limite da função:
e usando e , nós ficamos com
Passo 3
Agora a gente só precisa calcular o limite de . Para fazer isso, nós precisamos usar o truque de aplicar o logaritmo em ambos os lados:
Como o limite
é do tipo , a gente precisa usar a regra de L'Hôpital:
Então, para obter o valor do limite de a gente aplica a função exponencial dos dois lados:
Voltando para a nossa sequência inicial, a gente fica com
Por enquanto é só, nos vemos na próxima!
Resposta
Convergente.