Convergência e divergência: Quais das sequências {a_n} nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

74. a_n = (10 / 11)^n / ((9 / 10)^n + (11 / 12)^n)

Passo 1

Oi, gente! Bora partir para mais uma resolução de questões? Então, vem comigo!

Bom, nós precisamos calcular o limite da sequência quando n → ∞ para saber se ela é convergente ou não. Pela fórmula 4 do Teorema 5, nós temos

l i m n → ∞ x n = 0 ,   | x | < 1

Mas, se a gente aplicar esse resultado diretamente em

a n = ( 10 / 11 ) n ( 9 / 10 ) n   +   ( 11 / 12 ) n

vamos ficar com algo do tipo l i m n → ∞ a n → 0 0 . Normalmente a gente usa o Teorema de L’Hôpital, mas pro nosso caso ele não ajuda muito. Então, se liga aí que tem uma astúcia para ajudar a gente a sair dessa.

Passo 2

Nós vamos dividir o numerador e o denominador por ( 11 / 12 ) n :

a n = ( 10 / 11 ) n ( 9 / 10 ) n   +   ( 11 / 12 ) n 1 /   ( 11 / 12 ) n 1 /   ( 11 / 12 ) n = ( 10 / 11 ) n ( 9 / 10 ) n   +   ( 11 / 12 ) n   ( 12 / 11 ) n   ( 12 / 11 ) n

a n = ( 10 ⋅ 12 / 11 ⋅ 11 ) n ( 9 ⋅ 12 / 10 ⋅ 11 ) n   +   ( 11 ⋅ 12 / 12 ⋅ 11 ) n = ( 120 / 121 ) n ( 108 / 110 ) n   +   1

Passo 3

Como 120 / 121 < 1 e 108 / 110 < 1 , então ainda podemos usar a fórmula 4 do Teorema 5. Ou seja, ficamos com

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ ( 120 / 121 ) n ( 108 / 110 ) n   +   1 = l i m n → ∞ ( 120 / 121 ) n l i m n → ∞ [ ( 108 / 110 ) n   +   1 ] = 0 0 + 1 = 0

Então, é isso pessoal, a sequência converge para 0 .

Resposta

Convergente. l i m n → ∞ a n = 0

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