Quais das sequências { a_n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

a_n = (1 - n^3) / (70 - 4n^2)

Passo 1

Oie pessoal, vamos lá para mais um exercício! Vamos relembrar que uma sequência é uma lista de números em uma ordem determinada:

a 1 ,   a 2 ,   a 3 ,   … , a n ,   …

Uma sequência a n tem limite L e escrevemos:

lim n → ∞ ⁡ a n = L

  • A sequência converge quando lim n → ∞ ⁡ a n existir;
  • Caso contrário, a sequência diverge.

Passo 2

Sendo assim, iremos calcular o limite da nossa sequência:

lim n → ∞ ⁡ 1 - n 3 70 - 4 n 2 = ∞ ∞

Como esse limite é indeterminado, iremos utilizar a regra de L’Hopital. Onde:

lim n → ∞ ⁡ f x g x = lim n → ∞ ⁡ f ' x g ' x

Então derivando o numerador e o denominador:

lim n → ∞ ⁡ - 3 n 2 - 8 n = ∞ ∞

Aplicando novamente a regra de L’Hopital:

lim n → ∞ ⁡ 6 n - 8 = ∞

Como o limite não existe, então a sequência diverge.

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

A sequência diverge.

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