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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 108

Teoria e exemplos: Prove que underset(n -> oo)(l i m) x^(1 // n) = 1 , ( x > 0 ) .

Passo 1

Fala, galerinha! Mais uma questão pra gente resolver juntos. Preparados? Então, vem comigo!

A questão pede pra provar que underset(n -> oo)(l i m) x^(1 // n) = 1 , ( x > 0 ) . Pra fazer isso, nós vamos tomar o logaritmo em ambos os lados porque vai facilitar bastante o cálculo do limite:

l n ( x^(1 // n) ) = (l n x)/(n)

Passo 2

Como x é mantido fixo enquanto a gente toma o limite, então l n x vai ser constante. Assim, temos

underset(n -> oo)(l i m) l n ( x^(1 // n) ) = underset(n -> oo)(l i m) (l n x)/(n) = l n x underset(n -> oo)(l i m) (1)/(n) = 0

Agora, tomamos a função exponencial em ambos os lados para obter underset(n -> oo)(l i m) x^(1 // n) :

underset(n -> oo)(l i m) x^(1 // n) = underset(n -> oo)(l i m) e^(l n ( x^(1 // n) )) = e^0 = 1

Prontinho, resultado provado! Até a próxima pessoal.

Resposta

Ver a discussão acima.

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