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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 38

Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

a n = 2 - 1 2 n ∙ 3 + 1 2 n

Passo 1

Oie pessoal, vamos lá para mais um exercício! Vamos relembrar que uma sequência é uma lista de números em uma ordem determinada:

a 1 ,   a 2 ,   a 3 ,   … , a n ,   …

Uma sequência a n tem limite L e escrevemos:

lim n → ∞ ⁡ a n = L

  • A sequência converge quando lim n → ∞ ⁡ a n existir;
  • Caso contrário, a sequência diverge.

Se a n e b n forem sequências de números reais, e sejam A e B número reais, então:

lim n → ∞ ⁡ ( a n ∙ b n ) =   lim n → ∞ ⁡ a n ∙ lim n → ∞ ⁡ b n

Passo 2

Sendo assim, iremos calcular o limite da nossa sequência:

lim n → ∞ ⁡ 2 - 1 2 n ∙ 3 + 1 2 n

Sabemos que:

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n = 1 2 ∞ = 1 ∞ = 0

Logo:

lim n → ∞ ⁡ 2 - 1 2 n ∙ 3 + 1 2 n = 2 ∙ 3 = 6

Como o limite existe, então a sequência converge.

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

A sequência converge, com lim n → ∞ ⁡ a n = 6 .

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