Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.6 - Ex. 17
Uma corda com 60 m e pesando 6 kg/m está pendurada verticalmente na parede de um poço. Se um peso de 45 kg for levantado pela corda, ache o trabalho realizado ao se puxar a corda e o peso para cima do poço.
Passo 1
Vamos começar dando um referencial, o eixo vertical com origem no topo do poço e com sentido positivo para baixo.
Passo 2
Agora vamos descobrir o trabalho contra a gravidade realizado para mover um trecho fino da corda de comprimento . Pensamos na corda como trechos de comprimentos bem finos. Para a massa além do peso de 45 kg teremos o da corda, que diminui conforme é puxada e é encontrada multiplicando o seu comprimento pela sua massa por metro.
Assim, podemos concluir que:
O trabalho requerido para levantar cada trecho da corda é igual é igual a força vezes a distância a ser percorrida . Assim nossa equação fica:
Como queremos puxar a corda toda para cima do poço, nosso irá variar de [0, 60].
Passo 3
Agora vem a menina dos olhos desse exercício, todos os trechos dessa corda e para isso usamos a integral no trabalho:
Simbolicamente o se transforma no da integral. Sabendo que a gravidade é m/s² podemos substituir os valores e extrair as constantes da integral:
Passo 4
Agora podemos resolver a integral encontrando as primitivas da função:
E por fim fazer a subtração com os limites da integral: