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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.18 - Ex. 21

21.Um tanque tem forma de um cone circular reto, de altura   20   m e raio da base 102 cm. Se o tanque está cheio de água, encontrar o trabalho realizado para bombear a água pelo topo do tanque.

Passo 1

Faremos essa questão como uma aplicação da soma de Riemann, para isso vamos considerar uma partição de P de 0,20 . Admitiremos o fundo recipiente como a origem do nosso sistema.

E consideraremos vários planos horizontais cortando esse cone circular reto, nas alturas y = y j , j = 0,1 , … , n .

A espessura dos elementinhos determinados por esses planos horizontais é ∆ y i

Passo 2

Esses planos determinam uma reta que passa pelo ponto ( 0,0 ) e ( 1 . 02 ,   20 ) !!

Essa reta determina o raio dos elementinhos, então o raio será dado pela equação da reta.

1,02 20 y j

O volume é facinho de calcular, apenas precisamos multiplicar a área do elementinho π r 2 = π 1,02 20 y j 2 pela espessura ∆ y i , que é dado por:

π 1,02 20 y j 2 ∆ y i

Para acharmos o peso da água correspondente é só multiplicar pela densidade multiplicada pela gravidade ( 9807 k g m 3 ) .

9807 π 1,02 20 y j 2 ∆ y i

Beleza, já estamos quase acabando, só precisamos descobrir a altura e multiplicar pela expressão do peso. Ora, se o elementinho está a uma altura y j é porque falta 20 - y j para subir, então o trabalhinho desse elementinho será:

9807 π 1,02 20 y j 2 ( 20 - y j ) ∆ y i

Passo 3

Agora precisamos calcular todos os elementinhos, que é dado por o somatório.

W = ∑ j = 1 n 9807 π 1,02 20 y j 2 ( 20 - y j ) ∆ y i

Para acharmos a solução precisamos integrar, pois a solução acima é apenas uma aproximação.

W = ∫ 0 20 9807 π 1,02 20 y j 2 20 - y j ∆ y i = 9807 π ( 0,051 ) 2 ∫ 0 20 y 2 20 - y d y = 9807 π ( 0,051 ) 2 ∫ 0 20 20 y 2 - y 3 d y

Focamos na resolução da integral!

W = 9807 π 0,051 2 ∫ 0 20 20 y j 2 - y j 3 = 9807 π 0,051 2 20 y j 3 3 - y j 4 4 20 0

= 9807 π ( 0,051 ) 2 160000 3 - 160000 4 = 9807 π ( 0,051 ) 2 160000 12

Usando a sua calculadora, vamos acabar a questão e correr para o abraço.

W = 9807 π ( 0,051 ) 2 160000 12 = 340.106,76 π J

Resposta

W = 340.106,76 π J

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