20. Um tanque cilíndrico circular reto de de diâmetro e de profundidade está cheio de água e deve ser esvaziado pela parte superior. Determinar o trabalho necessário para esvaziar o tanque:

a) Considerando que a água seja deslocada por meio de um êmbolo, partindo da base do tanque;

b) por bombeamento

Vamos começar a fazer pelo Êmbolo.

Antes de fazermos quaisquer contas, iremos determinar os pontos de referência e como nossa intuição sugere, vamos fazer com que o ponto zero seja no fundo do poço e o ponto seja na borda do tanque.

Agora precisamos determinar a área desse elementinho de volume pequeno.

Ora, o raio dele não muda durante a subida, então a sua área é, mas precisamos definir quanto é o raio.

Conforme a água vai escapando pela borda o peso da água vai diminuindo, então quando o embolo deslocar metros, sobrará de água .

Então o volume após o deslocamento de metros é:

E multiplicando pela peso da água por que é , temos que a força é:

Integrando a força variável de até . Temos:

Agora por bombeamento e faremos a Soma de Riemann.

Para isso vamos considerar uma partição de P de . Admitiremos o fundo recipiente como a origem do nosso sistema.

E consideraremos vários planos horizontais cortando esse cilindro, nas altura , .

A espessura dos elementinhos determinados por esses planos horizontais é .

Esses elementinhos conforme sobem não mudam o seu raio, então a área de um elementinho é dada por:

Para acharmos o volume, precisamos multiplicar pela espessura do elementinho.

Agora com o volume calculado, vamos achar a força, que é igual ao peso do elemetinho!

Só precisamos achar o quanto o elementinho precisa deslocar para chegar no topo, se ele está na posição é porque falta para chegar a borda do tanque!

Então o trabalhinho sobre esse elementinho é:

Agora para calcularmos o trabalho, precisamos somar todos esses elementinhos!!

Essa soma é apenas aproximada, para acharmos realmente o trabalho precisamos integrar!!