Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.6 - Ex. 13
Um tanque cheio com água tem a forma de um paralelepípedo retangular com 5m de profundidade por 15 m de largura e por 25 m de comprimento. Ache o trabalho necessário para bombear a água no tanque a um nível de 1 m acima da superfície do tanque.
Passo 1
Bem, para esse exercício imagine um tanque retangular, ele está cheio com água até 5 m de altura, queremos jogar essa água para fora, mas para isso ela precisa ser levantada 1 m de altura para sair por um cano. Conforme a água vai saindo a altura para deslocar a água é 1 m mais a altura de água que já desceu.
Agora vamos dar um referencial, o eixo vertical com origem no topo do tanque e com sentido positivo para baixo, já que nosso nível de água desce e assim resulta numa maior altura para a água ser levantada.
Passo 2
Vamos descobrir o trabalho contra a gravidade realizado para mover uma camada fina de água de espessura . Pensamos na coluna como uma pilha de camadas finitíssimas.
Nosso volume da camada tem uma base retangular com largura , profundidade m e com altura .
O trabalho requerido para levantar cada camada dessa é igual a força vezes a distância a ser percorrida, que nesse caso é dada por , já que além do nível de água reduzida ainda temos mais um metro para a água sair, assim, nossa equação fica:
Como queremos esvaziar todo o tanque, o nosso intervalo de irá de 0 a , a profundidade do tanque.
Passo 3
Agora vem a menina dos olhos desse exercício, queremos bombear todas as camadas desse tanque e para isso usamos a integral no trabalho:
Simbolicamente o se transforma no da integral. Podemos extrair as constantes, e ficamos com:
Sabendo que a m/s² e a densidade da água kg/m³, podemos substituir os valores:
Passo 4
Agora podemos resolver a integral encontrando as primitivas da função:
E por fim fazer a subtração com os limites da integral: