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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.7 - Ex. 9

Se uma corda elástica tiver uma extremidade solta, a condição de contorno a ser satisfeita aí será u x = 0 . Encontre o deslocamento u(x, t) de uma corda elástica de comprimento L, fixa em x = 0 e solta em x = L, colocada em movimento, sem velocidade inicial, a partir da posição inicial u(x, 0) = f(x), em que f é uma função dada.

Sugestão: Mostre que as soluções fundamentais para esse problema satisfazendo todas as

condições, exceto a condição inicial não homogênea, são

u n ( x , t ) = s i n λ n x   c o s λ n a t ,

em que λ n = ( 2 n - 1 ) π 2 L ,   n = 1,2 , 3 . . . Compare esse problema com o Problema 15 da Seção 10.6; preste atenção especial à extensão do dado inicial fora do intervalo [0, L].

Passo 1

Supondo que u ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) e substituindo u na Eq.(1) do livro, chegamos no par de EDOs:

X ' ' + σ X = 0

T ' ' + a 2 σ T = 0

Aplicando a condição de contorno u ( 0 , t ) = 0 e u x ( L , t ) = 0 para u ( x , t ) , devemos ter então X ( 0 ) = 0 e X ' ( L ) = 0 .

Considerando os três casos: σ < 0 ,   σ = 0 ,   e   σ > 0 podemos ver que soluções não-triviais são possíveis se, e somente se, σ = ( 2 n - 1 ) 2 π 2 4 L 2 ,   n = 1,2 , 3 . . . e as soluções correspondentes para X ( x ) são proporcionais a s i n [ ( 2 n - 1 ) π x 2 L ] .

Usando os valores de sigma, achamos que T ( t ) é uma combinação linear de s i n [ ( 2 n - 1 ) π a t 2 L ] e c o s [ ( 2 n - 1 ) π a t 2 L ] .

Agora, a condição inicial u t ( x , 0 ) implica que T ' ( 0 ) = 0 e, portanto, funções na forma u n ( x , t ) = s i n [ ( 2 n - 1 ) π x 2 L ] c o s [ ( 2 n - 1 ) π a t 2 L ] ,   n = 1,2 , 3 . . . satisfazem as EDPs.

Passo 2

Assumimos que:

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ c n s i n ( 2 n - 1 ) π x 2 L c o s ( 2 n - 1 ) π a t 2 L

A condição inicial implica que devemos ter:

f ( x ) = ∑ n = 1 ∞ c n s i n ( 2 n - 1 ) π x 2 L

Do problema 39 da seção 10.4 temos que f ( x ) pode ser representado como uma série:

c n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) s i n ( 2 n - 1 ) π x 2 L d x ,   n = 1,2 , 3 , . . . .

Substituindo esses valores na série acima para u ( x , t ) , chegamos na solução desejada:

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ c n s i n ( 2 n - 1 ) π x 2 L c o s ( 2 n - 1 ) π a t 2 L

c n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) s i n ( 2 n - 1 ) π x 2 L d x

Resposta

c n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) s i n ( 2 n - 1 ) π x 2 L d x

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