9 - Considere o problema de valor inicial x' = f(t, x, y) e y' = g(t, x, y) , com x(t₀) = x₀ e y(t₀) = y₀ .

A generalização do método de previsão e correção de Adam-Moulton da Seção 8.4 é

x_(n+1) = x_n + (1/24) h (55 f_n - 59 f_(n-1) + 37 f_(n-2) - 9 f_(n-3))

y_n+1 = y_n + 1/24 h (55g_n - 59g_{n-1} + 37g_{n-2} - 9g_{n-3})

e

x_(n+1) = x_n + (1/24) h (9 f_(n+1) + 19 f_n - 5 f_(n-1) + f_(n-2))

y_{n+1} = y_{n} + (1/24) h [ 9g_{n+1} + 19g_{n} - 5g_{n-1} + g_{n-2} ]

Determine um valor aproximado da solução em t = 0,4 para o problema de valor inicial do exemplo, x' = x - 4y , y' = -x + y

Com x(0) = 1, y(0) = 0 . Use h = 0,1 . Corrija o valor previsto uma vez. Para os valores x1, ..., y3 , use os valores da solução exata arredondados para seis dígitos: x₁ = 1,12735 ; x₂ = 1,32042 ; x₃ = 1,60021 ; y1 = -0,111255 ; y₂ = -0,250847 e y₃ = -0,429696

Passo 1

Dado que o problema do valor inicial é,

x ’ = x – 4 y ,   y ’ = - x + y

com  X 0 = 1 ,   Y 0 = 0 . A generalização do método nos fornece:

x n + 1 = x n + 1 24 h 55 f n - 59 f n - 1 + 37 f n - 2 - 9 f n - 3

y n + 1 = y n + 1 24 h 55 g n - 59 g n - 1 + 37 g n - 2 - 9 g n - 3

Que após a correção tornam-se:

x n + 1 = x n + 1 24 h 9 f n + 1 + 19 f n - 5 f n - 1 + f n - 2

y n + 1 = y n + 1 24 h 9 g n + 1 + 19 g n - 5 g n - 1 + g n - 2

Agora iremos usar os valores iniciais da solução exata, para obter:

Finalmente, iremos utilizar uma única etapa por meio do método previsão e correção, que resulta em valores aproximados:

Você vai notar que os valores de x n y n usando os métodos previsão e correção são bastante próximos, como eles só diferem na 3ª casa decimal.

Resposta

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