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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.Revisão - Ex. 73

Uma corda focal de uma cônica é o segmento que passa pelo foco cujas extremidades estão sobre a cônica. Prove que duas cordas de uma parábola são perpendiculares, então a soma é uma constante.

Passo 1

Sabemos que uma equação de uma parábola é de:

y 2 = 4 p x

Se pegamos dois vetores formados pelo foco da parábola com o ponto de uma corda, temos que.

F P 1 = k 1

F P 2 = k 2

F P 1 = k 1

x 1 , y 1 - p , 0 = k 1

x 1 - p , y 1 = k 1

( x 1 - p ) 2 + y 1 2 =   k 1

x 1 = k 1 - p (1)

Para o FP2 é o mesmo desenvolvimento, logo:

x 2 = k 2 - p (2)

Passo 2

Já que eles são perpendiculares, temos que o produto vetorial dele é igual a 0. Logicamente:

F P 1 → * F P 2 → = 0

( x 1 - p , y 1 ) *   ( x 2 - p , y 2 ) = 0

Aplicando as nossas equações (1) e (2):

( 15 - 2 p , 4 p k 1 - p   ) * ( 5 - 2 p , 15 - 2 p , 4 p k 2 - p ) = 0

Fazendo os produtos temos que:

75 - 30 p - 10 p + 4 p 2 + 4 p ( 2 k 2 - 2 k 2 p + p 2 = 75 - 40 p + 4 p 2 + 4 p ( 2 k 1 - 2 k 1 p + p 2

p + 4 p 2 + 4 p ( 2 k 2 - 2 k 2 p + p 2 = p + 4 p 2 + 4 p ( 2 k 1 - 2 k 1 p + p 2

Passo 3

Agora basta resolvermos a equação, vamos ter que:

( 2 k 2 - 2 k 2 p + p 2 = ( 2 k 1 - 2 k 1 p + p 2

2 k 2 - 2 k 2 p + p 2 = 2 k 1 - 2 k 1 p + p 2

Logo,

k 1 = k 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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