64. Seja f uma função cujo domínio seja o conjunto de todos os números reais e f(a + b) = f(a) . f(b) para todo a e b . Além disso, suponha que f(0) = 1 e f'(0) e x existe .Prove que f(x) existe para todo x e que f'(x) = f'(0) * f(x)

Passo 1

Antes de começar a resolver está questão, ela nos parece bem complicada e trabalhosa. Porém, ao lê o enunciado com calma e utilizar todas informações contidas no mesmo percebe-se que não trata-se de uma questão de extrema complexidade. Primeiramente, ele nos pede para mostrar que a função que respeita seguinte condição f a + b = f a . f ( b ) para todo a   e   b existe para todo x. Logo após, o enunciado nos pede que provamos que f ´ x = f ´ 0 . f x . O segundo pedido dele será provado utilizando-se do conceito de definição de derivada e de informações contidas no enunciado da própia questão.

Passo 2

Fazendo a   =   0   e   b   =   x , vem:

f a + b = f a . f b

f 0 + x = f 0 . f ( x )

f x = f 0 . f ( x )

Como do enunciado temos que f ( 0 )   =   1 , temos:

f x = f ( x ) ,

o que sempre é verdade. Logo, existe f ( x ) para todo x.

Passo 3

Sabemos da definição de derivada que:

f ´ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f ( x ) ∆ x

Do enunciado temo que f a + b = f a . f b para todo a e b. Assim, fazendo a   =   x e b   =   ∆ x , temos f x + ∆ x = f x . f ( ∆ x ) .

f ´ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f ( x ) ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x f ∆ x - 1 ∆ x

Com isso, ,

Como do enunciado temos que f ( 0 )   =   1 , vem que f ´ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x f ∆ x - f ( 0 ) ∆ x .

Assim , f ´ x = f x . lim ∆ x → 0 ⁡ f ∆ x - f ( 0 ) ∆ x = f x . f ´ ( 0 ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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