Se um corpo estiver no ar cuja temperatura é 35 ºC e resfria-se de 120ºC a 60ºC em 40 min, use a lei de resfriamento de newton para a achar o tempo até a temperatura cair a 45ºC

Sabendo que a lei de resfriamento de Newton

dy/dt = k (y - 35), onde k é uma constante

Passo 1

Abrindo a equação

d y d t - k y =   - 35 k

Temos uma equação ordinária de primeira ordem. Logo esperamos que sua solução seja algum múltiplo de e a   ,   o n d e   a   é   o   i n t e g r a l   d o   f a t o r   q u e   m u l t i p l i c a   y .   N o   n o s s o   c a s o   a =   ∫ - k d t   .   l o g o   ,   a =   - k t

Passo 2

Multiplicar ambos os lados por e - k t  

e - k t   d y d t - k e - k t   y =   - 35 k e - k t  

d d t e - k t   y =   - 35 k e - k t  

Integrando dos dois lados temos :

e - k t   y = 35 e - k t   + C

y = 35 + C e k t    

Passo 3

A c h a n d o   k   e   C   p e l o s   d a d o s   d e   c o n t o r n o   d o   p r o b l e m a q u a n d o   t = 0   ,   y = 120   ,   l o g o   C = 85  

Assim temos :

y = 35 + 85 e k t  

Quando t = 40 , y = 60 e obtemos

60 = 35 + 85   e 40 k

  l o g o   e 40 k = 5 17

Assim nossa equação fica

y = 35 + 85 . 5 17 t 40

      Pelos dados do problemas y = 45, e queremos t

  45 = 35 + 85   5 17 t 40

Resposta

t   ≈ 70   m i n

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