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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 46

Calcule a integral definida

(d)/(d x) int_3^(s e n x) (1)/(1 - t ²) d t

Passo 1

Lembrando da Propriedade de integral

(d)/(d x) int_a^(f (x)) h (t) d t = h (f (x)) . (d)/(d x) (f (x) - a)

Passo 2

Esse é um calculo muito simples. Não deixe que as derivas e integrais te assustem.

Como estamos derivando uma integração já esperamos retornar pra nossa função original de alguma maneira.

E olha so como funciona

(d)/(d x) int_3^(s e n x) (1)/(1 - t ²) d t = (1)/(1 - ( s e n x ) ²) . (d)/(d x) (s e n x - 3)

Passo 3

(1)/(1 - s e n^2 x) . c o s x

Em teoria todo nosso calculo já acabou, mas podemos modificar essa função pra ficar mais bonitinha. Por exemplo usar a identidade trigonométrica básica. Saca só :

s e n^2 x + c o s^2 x = 1 -> c o s^2 x = 1 - s e n ² x

(1)/(1 - s e n^2 x) . c o s x = (c o s x)/(c o s^2 x) -> (1)/(c o s x) Você também pode escrever sendo:

(1)/(c o s x) = sec x

Beleza?

Resposta

(d)/(d x) int_3^(s e n x) (1)/(1 - t ²) d t = (1)/(c o s x) = sec x

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