Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.3 - Ex. 18

Um corpo de massa m caindo através de um meio viscoso encontra uma força de resistência proporcional ao quadrado de sua velocidade instantânea. Nessa situação a equação diferencial para a velocidade v t é:

m . d v d t = m g - k v 2

Em que k é uma constante positiva de proporcionalidade. Resolva a equação sujeita a v 0 = v 0 . Qual é a velocidade limite do corpo em queda?

Passo 1

Então pessoal, aqui nesse problema só precisamos resolver a equação diferencial dada para v , assim como já estamos acostumados a fazer. A equação é a seguinte:

m . d v d t = m g - k v 2

Simplificando, teremos:

d v d t = g - k m v 2

1 2 1 g 1 - p v + 1 2 1 g 1 + p v d v = d t

Como k m g é constante, vamos chamar de p , ok? Show! Integrando ambos os lados, teremos:

∫ 1 2 1 g 1 - p v d v + ∫ 1 2 1 g 1 + p v d v = ∫ d t

Simplificando:

1 2 g ∫ 1 1 - p v d v + 1 2 g ∫ 1 1 + p v d v = ∫ d t

Então vamo que vamo resolver isso aí!

Passo 2

Para a primeira integral da esquerda, teremos que:

1 2 g ∫ 1 1 - p v d v = 1 2 g . - 1 p ln ⁡ 1 - p v + c 1

Para a segunda integral da esquerda, teremos que:

1 2 g ∫ 1 1 + p v d v = 1 2 g . 1 p ln ⁡ 1 + p v + c 2

E, por fim, para a integral da direita teremos:

∫ d t = t + c 3

Unindo tudo:

1 2 g . - 1 p ln ⁡ 1 - p v + c 1 + 1 2 g . 1 p ln ⁡ 1 + p v + c 2 = t + c 3

1 2 g p ln ⁡ 1 + p v - 1 2 g p ln ⁡ 1 - p v = t + c

1 2 g p ln ⁡ 1 + p v 1 - p v = t + c

Logo:

ln ⁡ 1 + p v 1 - p v = 2 g p t + C

Simplificando:

p v + 1 p v - 1 = C e 2 g p t

Show!

Passo 3

Agora que encontramos nossa solução geral vamos aplicar a condição inicial v 0 = v 0 , saca só:

p v 0 + 1 p v 0 - 1 = C

Então teremos:

p v + 1 p v - 1 = p v 0 + 1 p v 0 - 1 . e 2 g p t

Como p = k m g , então nosso resultado será:

k m g v + 1 k m g v - 1 = k m g v 0 + 1 k m g v 0 - 1 . e 2 g p t

A velocidade limite acontecerá para t → ∞ , logo, dividindo a direita da nossa solução por e 2 g p t , teremos:

k m g v + 1 k m g v - 1 = 0

k m g v = - 1

∴ v = - m g k

E está aí a velocidade limite!

Resposta

k m g v + 1 k m g v - 1 = k m g v 0 + 1 k m g v 0 - 1 . e 2 g p t

Velocidade limite: v = - m g k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

No exemplo 7 da seção 1.2, vimos que a equação diferencial que descreve a forma de um fio de densidade linear constante w suspenso sob a ação do próprio peso é: d 2 y d x 2 = w T 1 1 + d y d x 2 Em qu
Uma equação semelhante a do problema 12 é: x . d 2 y d x 2 = v 1 v 2 1 + d y d x 2 Neste caso, a equação surge no estudo da forma do caminho que um perseguidor, correndo a uma velocidade v 2 , deve pe
Dois compostos químicos A e B são combinados para formar um terceiro composto C . A taxa ou velocidade da reação é proporcional à quantidade instantânea de A e B não convertida em C . Inicialmente, há
23. O problema de valor inicial que descreve o movimento de um pêndulo simples com velocidade inicial e ângulo inicial θ 00 é: d 2 θ d t 2 + g l s e nθ = 0 θ 0 = θ 0 ,d θ d t t = 0 = 0 a) Obtenha a eq
Um problema clássico em cálculo das variações é encontrar a forma de uma curva φ tal que, uma conta, sob a influência da gravidade, escorregue de A 0 ,0 a B x 1 ,y 1 em tempo mínimo. Veja a figura 3.2