Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.3 - Ex. 13
Uma equação semelhante a do problema é:
Neste caso, a equação surge no estudo da forma do caminho que um perseguidor, correndo a uma velocidade , deve percorrer para interceptar uma pressa correndo a uma velocidade . Use a mesma substituição do problema e a condição inicial , para resolver a equação. Considere os dois casos e .
Passo 1
Aqui o que temos que fazer é, simplesmente, resolver a equação diferencial dada, pessoal. A equação é:
Fazendo a substituição , teremos:
Como é constante, então vamos chamar de , beleza? Então teremos:
Ok, simplificamos tudo! Sendo assim, só falta integrar isso aí e resolver, então vamo que vamo!
Passo 2
Integrando ambos os lados, teremos:
O bom é que para a integral do lado esquerdo temos um resultado tabelado e já conhecido, que é:
E a integral do lado direito é bem tranquila, saca só:
Unindo os resultados:
Simplificando:
Show!
Passo 3
Agora que resolvemos nossa equação diferencial vamos aplicar a condição inicial , saca só:
Substituindo:
Se simplificarmos isso, teremos:
Voltando para , teremos:
Como , teremos:
E essa é a nossa solução, ok? Agora vamos analisar os casos!
Passo 4
Para , temos:
E então:
Integrando, teremos:
Que nos dá como resultado:
Aplicando o ponto , teremos:
Então para temos como resultado:
Top, top!
Passo 5
Para , temos:
O que nos dá como resultado:
Aplicando o ponto , teremos:
Então para temos como resultado:
E está aí nossa resolução, galera! 😊
Resposta
Para , temos:
Para , temos: