Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.3 - Ex. 12
No exemplo da seção 1.2, vimos que a equação diferencial que descreve a forma de um fio de densidade linear constante suspenso sob a ação do próprio peso é:
Em que é a tensão horizontal no fio em seu ponto mais baixo. Usando a substituição , resolva essa equação sujeita à condição inicial , .
Passo 1
Aqui o que temos que fazer é, simplesmente, resolver a equação diferencial dada, pessoal. A equação é:
Fazendo a substituição , teremos:
Como é constante, então vamos chamar de , beleza? Então teremos:
Ok, simplificamos tudo! Sendo assim, só falta integrar isso aí e resolver, então vamo que vamo!
Passo 2
Integrando ambos os lados, teremos:
O bom é que para a integral do lado esquerdo temos um resultado tabelado e já conhecido, que é:
E a integral do lado direito é bem tranquila, saca só:
Unindo os resultados:
Simplificando:
Show!
Passo 3
Agora que resolvemos nossa equação diferencial vamos aplicar a condição inicial , saca só:
Substituindo:
Se simplificarmos isso, teremos:
Voltando para , teremos:
O que nos dá:
Aplicando a condição , obteremos:
Substituindo, teremos:
Como , então nosso resultado será: