Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.3 - Ex. 23
23. O problema de valor inicial que descreve o movimento de um pêndulo simples com velocidade inicial e ângulo inicial é:
a) Obtenha a equação de primeira ordem:
(Sugestão: multiplique a equação dada por .)
b) Use a equação da parte a) para mostrar que o período de movimento é:
Passo 1
a) Então pessoal, aqui a questão quer que cheguemos na equação diferencial:
Para isso vamos utilizar a equação que nos foi dada, que é:
Multiplicando a equação por , teremos:
Show!
Passo 2
O enunciado nos dá as seguintes condições iniciais:
Aplicando, teremos:
Top!
Passo 3
b) Agora temos que utilizar a expressão que achamos para determinar uma expressão para o período do pêndulo. Separando as variáveis e integrando, teremos:
Agora vale prestarmos atenção em uma coisa. Para a integral da esquerda temos o seguinte intervalo: , enquanto na integral da direita temos o seguinte intervalo: , que é o período de um pêndulo. Fazendo isso, teremos:
Que nos dá como resultado:
Que é exatamente a expressão que queríamos chegar! 😉
Resposta
a) Demonstração.
b) Demonstração.