Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 9

Quando um raio de luz vertical passa através de uma substância transparente, a taxa na qual sua intensidade I decresce é proporcional a I ( t ) , em que t representa a espessura do meio (em metros). No mar, a intensidade a 3 metros abaixo da superfície é 25% da intensidade inicial I 0 do raio incidente. Qual é a intensidade do raio a 15 metros abaixo da superfície?

Passo 1

E aí, vamos lá?

A primeira informação que vamos usar nesse exercício é que a taxa na qual a intensidade I decresce é proporcional a I ( t )

d I d t ∝ I ( t )

Então

d I d t = - k . I   ( I )

Onde k é uma constante e o sinal de menos indica o decrescimento

Isso é uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita como como d I d t + A t . I = B ( t ) , olha:

d I d t + k . I = 0

A solução de uma equação diferencial linear é dada por:

I ( t ) = 1 i n t ∫ i n t . B t   d t + c     ( I I )

Onde i n t = e ∫ A t   d t

Na nossa equação ( I ) , temos A y = k e B y = 0 então:

i n t = e ∫ k   d t

i n t = e k t

Então temos nosso fator de integração.

Vamos substituir as informações que temos na equação ( I I ) :

I t = 1 e k t ∫ 0   d t + c

I t = c . e - k t

Sendo c = I 0

I t = I 0 . e - k t

Passo 2

Temos

I t = I 0 . e - k t

E o enunciado fala que em t = 3 (3 metros abaixo da superfície), temos I = 25 100 . I 0

Então saca só:

25 100 . I 0 = I 0 . e - k . 3

e - 3 k = 25 100

- 3 k = ln ⁡ 25 100

k = ln ⁡ 0,25 3

Então, a equação pode ser escrita assim se liga:

I t = I 0 . e - ln ⁡ 0,25 3 t

Passo 3

Agora queremos saber qual é a intensidade 15 metros abaixo da superfície, vamos lá

I 15 = I 0 . e - ln ⁡ 0,25 3 . 15

I 15 = I 0 . e - 5 . ln ⁡ 0,25

Então:

I 15 = 1024 . I 0

Repara que a intensidade vai depender da intensidade inicial né hehe

Resposta

I 15 = 1024 . I 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 7 a 14, verifique se cada função dada é solução da equação diferencial . t 2 y ' ' + 5 t y ' + 4 y = 0 ,t0, y 1 t = t - 2 , y 2 t = t - 2 ln ⁡ t
Em cada um dos problemas de 15 a 18, determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma y=e r t . y ' ' ' - 3 y ' ' + 2 y ' = 0
Em cada um dos problemas de 7 a 14, verifique se cada função dada é solução da equação diferencial . 2 t 2 y ' ' + 3 t y ' - y = 0 , t0, y 1 t = t , y 2 t = 1 t
Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine a ordem da equação diferencial dada e diga se ela é linear ou não d 2 y d t 2 + s e n ( t + y ) = s e n t
Em cada um dos problemas de 15 a 18, determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma y=e r t . y ' + 2 y = 0