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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 26a

Corrente em um circuito RL desligado Se o interruptor de um circuito RL for desligado depois de a corrente atingir o valor estacionário I = V / R , o decaimento da corrente ( esboçado graficamente aqui) obedece à equação:

L d i d t + R i = 0

a-Resolva a equação para expressar i como uma função de t.

Passo 1

Temos aqui uma EDO, que é dada pela Lei de Kirchoff sem uma fonte externa:

L d i d t + R i = 0

Reescrevendo a equação Linear, temos que:

d i d t + R L i = 0

Para resolver essa questão temos que calcular primeiro o fator integrante v dado por:

v = e ∫ P ( t ) d t

e depois aplicar isso à seguinte expressão:

i t = 1 v t ∫ f ⋅ v t d t + c

Passo 2

Com as expressões acima podemos resolver a EDO. Vamos aqui nomear na nossa equação cada termo das expressões do passo 1.

P t = R L

f = 0

Passo 3

Calculando o fator integrante temos:

v = e ∫ R L d t = e R L t

Passo 4

Substituindo na solução da edo, temos que:

i t = 1 e R L t ∫ 0 ⋅ e R L t d t ⇒ i t = e - R L t A , onde A = c t e

i t = A e - R L t

Passo 5

A condição de contorno aqui é dada para a corrente estacionária, o qual é representada por i 0 = 0 :

i 0 = A e - R L 0 ⇒ i 0 = A e 0 = i 0

A = i 0

Resposta

Então a equação da corrente em função do tempo será:

i t = i 0 e - R L t

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