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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.1 - Ex. 19

Use o método de Euler com d x = 0,5   para estimar y ( 5 ) se y ' = y 2 x   e y 1 = - 1 . Qual é o valor exato de y ( 5 ) ?

Passo 1

O método de Euler consiste em calcular uma sequência de linearizações das funções para aproximar os valores das curvas em um intervalo, sendo y ' = f ( x , y ) . Como assim? Na prática, se temos um ponto x 0 ,   y 0 e queremos o valor para um x 1 = x 0 + d x , fazemos:

y 1 = y 0 + f x 0 , y 0 d x

E encontramos uma boa aproximação para o valor da função em x 1 . Fazemos isso sucessivamente, caso quisermos um valor para um x 2 = x 1 + d x , a gente faz:

y 2 = y 1 + f x 1 , y 1 d x

Até chegarmos ao valor que procuramos, sempre partindo de um valor conhecido.

Bom, então vamos lá!

Passo 2

Temos: x 0 , y 0 = ( 1 ,   - 1 ) , d x = 0,5 e f x , y = y 2 x      

Observe que partindo de x = 1 com d x = 0,5 precisamos de 8 passos até chegar no x = 5 :

Aplicando o método, temos:

  • y 1 =   - 1 + - 1 2 1 0,5 =   - 0,5
  • y 2 =   - 0,5 + - 0,5 2 1,5 0,5 =   - 0,39794
  • y 3 =   - 0,39794 + - 0,39794 2 2 0,5 =   - 0,34195
  • y 4 =   - 0,34195 + - 0,34195 2 2,5 0,5 =   - 0,30497
  • y 5 =   - 0,30497 + - 0,30497 2 3 0,5 =   - 0,27812
  • y 6 =   - 0,27812 + - 0,27812 2 3,5 0,5 =   - 0,25745
  • y 7 =   - 0,25745 + - 0,25745 2 4 0,5 =   - 0,24088
  • y 8 =   - 0,24088 + - 0,24088 2 4,5 0,5 =   - 0,2272

Essa é a estimativa para y ( 5 ) .

Passo 3

Vamos calcular o valor exato agora, partindo da equação diferencial:

y ' = d y d x → d y d x = y 2 x → d y y 2 = d x x

Calculando a integral dos dois lados:

∫ d y y 2 =   - 1 y  

∫ d x x =   2 x + C

Voltando então, temos:

- 1 y = 2 x + C

Substituindo os valores do ponto:

- 1 - 1 = 2 1 + C → C =   - 1

Escrevemos então a função y = 1 1 - 2 x .

Aí é só jogar o valor de x = 5 para encontrar y ( 5 ) ...

y 5 = 1 1 - 2 5 ≈   - 0,2880

Resposta

Estimativa: - 0,2272

Exato: - 0,2880

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