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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.4 - Ex. 19

Corrente em um circuito RL. O diagrama a seguir representa um circuito elétrico cuja resistência total é uma constante R ohms e cuja autoindutância, mostrada como uma espiral, é L henries, também constante. Há um interruptor cujos terminais em a e b podem ser ligados para se conectarem a uma fonte elétrica de V   volts. Da Seção 9.2, temos

L ⋅ d i d t + R i = V ,

Onde i é a corrente em ampères e t é o tempo em segundos.

Use uma análise da reta de fase para esboçar a curva integral supondo que o interruptor no circuito R L tenha sido ligado no instante t = 0 . O que acontece com a corrente quando t → ∞ ? Esse valor é chamado de solução de estado estacionário.

Passo 1

Primeiramente, vamos isolar o termo d i d t na fórmula dada acima, assim

L ⋅ d i d t + R i = V →   L ⋅ d i d t = V - R i

d i d t = V L - R i L

Analisando a equação diferencial para quando d i d t = 0   vamos encontrar os pontos de equilíbrio, então, teremos

V L - R i L = 0

V L = R i L

V = R i

i = V R

Analisando a concavidade (segunda derivada) teremos

d 2 i d t 2 =   - R L ⋅ d i d t = - R L 2 ⋅ V R - i

Nossa reta de fase vai ser

Passo 2

Se o botão for fechado em t = 0 , então i 0 = 0 e o gráfico da solução vai ser dado por

Ou seja, quando t → ∞ nosso estado estacionário vai ser dado por i e s t a d o   e s t a c i o n á r i o = V R .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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