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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 16

16. A lei do resfriamento de Newton diz que a temperatura de um objeto varia a uma razãoproporcional à diferença entre sua temperatura e a temperatura ambiente. Suponha que atemperatura de uma xícara de café obedece à lei do resfriamento de Newton. Se o café está auma temperatura de 200°F* quando colocado na xícara e, 1 minuto depois, esfriou e está a190°F em uma sala à temperatura de 70°F, determine quando o café alcança a temperatura de150°F.

Passo 1

Bem primeiro temos que traduzir o que o texto diz em uma equação. Ao dizer “temperatura de um objeto varia a uma razão proporcional à diferença entre sua temperatura e a temperatura ambiente” ele quer dizer isso aqui

d T d t = k   T - t a

E temos os dados de contorno

t 0 = 200

t 1 = 190

t a = 70

T t *   = 150

Então beleza, já temos tudo o que precisamos. Vamos solucionar essa equação

Passo 2

Temos uma equação separável aqui

d T d t = k   T - t a

Logo podemos jogar tudo que é T para um lado e tudo oque é t para o outro. Lembrando que t a é um numero.

d T d t = k   T - t a

1 T - t a d T = k d t

Integrando em ambos os lados temos

ln ⁡ T - t a = k t + c

T - t a = e k t + c

Podemos manipular um pouco essa equação para ela ficar mais bonita

T = t a + c e k t

Passo 3

Vamos usar os dados de contorno para descobrir tanto c quanto k. Vamos la \o/

200 = 70 + c

c = 130

Logo nossa função é

T = 70 + 130 e k t

Agora vamos descobrir k

190 = 70 + 130 e k ⋅ 1  

120 130 = e k

Logo podemos concluir que

T = 70 + 130 e k t

T = 70 + 130 e k t

T = 70 + 130 12 13 t

Passo 4

Queremos agora

T t *   = 150

Logo é só substituir na nossa equação

150 = 70 + 130 12 13 t  

80 130 = 12 13 t  

ln ⁡ 80 130 = t ln ⁡ 12 13

t = ln ⁡ 80 130 ln ⁡ 12 13 → 6   m i n

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

t = ln ⁡ 80 130 ln ⁡ 12 13 → 6   m i n

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