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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.8 - Ex. 4

Uma cultura de bactérias cresce com uma taxa de crescimento relativo constante. Depois de 2 horas existem 600 bactérias e depois de 8 horas a contagem é 75000 .

(a) Encontre a população inicial?

(b) Encontre uma expressão para a população depois de t horas.

(c) Encontre o número de células após 5 horas.

(d) Encontre a taxa de crescimento depois de 5 horas.

(e) Quando a população será de 200000 células?

Passo 1

(a) Nesse enunciado temos um problema com taxa de crescimento relativa, que é a taxa de crescimento dividida pela população. Se chamarmos P ( t ) a população de bactérias em função do tempo ( t ) em horas e tendo k como a taxa de crescimento relativa temos:

k = P ' t P t

Ou também pode ser escrita como:

d P d t = k P

Toda vez que nos deparamos com uma função do tipo d y d t = k y devemos saber que as únicas soluções desse tipo de equação diferencial são as exponenciais do tipo:

y t = y 0 e k t

Passo 2

Agora precisamos identificar as variáveis do problema. Sabemos que y t = P t e que o valor de k é desconhecido.

Sabemos que em duas horas existem 600 bactérias, logo, P 2 = 600 e após oito a população é de 75000 então P 8 = 75000 . Aplicando esses valores na equação exponencial obtemos o seguinte sistema:

P 2 = 600 = P 0 e k * 2 P 8 = 75000 = P 0 e k * 8

Podemos dividir a segunda equação pela primeira:

75000 600 = P 0 e k * 8 P 0 e k * 2

125 = e 6 k

Podemos tirar a raiz cubica em ambos os membros da equação:

125 3 = ( e 6 k ) 3

5 = e 2 k

e k = 5

Aplicando o logaritmo natural temos:

ln ⁡ e k = ln ⁡ 5

k ln ⁡ e = ln ⁡ 5  

Como ln ⁡ e = 1 :

k = ln ⁡ 5

Logo, taxa de crescimento relativa corresponde a ln ⁡ 5 .

Tendo o valor de k é só aplicar em uma das equações do sistema para encontrar o P ( 0 ) :

P 2 = 600 = P 0 e ( l n ⁡ ( 5 ) ) 2

P 0 * e ln ⁡ 5 2 * 2 = 600

P 0 * 5 = 600

P 0 = 120

Logo, a população inicial é de 120 bactérias.

Passo 3

(b) Para encontrar a expressão para o número de células depois de t horas, basta apenas aplicar os dados obtidos:

P t = P 0 e k t

P t = 120 e ln ⁡ 5 * t

Como e ln ⁡ a = a , e x a b = x a b , então:

P t = 120 e ln ⁡ 5 t = 120 5 t

Logo, a função que representa a população de bactérias é: P t = 120 5 t .

Passo 4

(c) Para encontrar o número de células depois de 5 horas é só achar P 5 :

P 5 = 120 5 5

P 5 =   6708,203932

Logo, a população de bactérias após 5 horas é de aproximadamente 6708 indivíduos.

Passo 5

(d) Para encontrar a taxa de crescimento depois de 5 horas precisamos derivar a função obtida e resolver para t = 5 :

P t = 120 * 5 t

P ' t = 120 * 5 t * ln ⁡ 5

P ' 5 = 120 * 5 5 * ln ⁡ 5

P ' 5 = 5398,218867

Logo, a taxa de crescimento depois de 5 horas é de 5398,218867 bactérias por hora.

Passo 6

(e) A população chega a 200000 células quando P t = 200000 , então:

P t =   120 * 5 t = 200000

5 t = 5000 3

ln ⁡ 5 t = ln ⁡ 5000 3

t 2 * ln ⁡ 5 = ln ⁡ 5000 3

t = 2 * ln ⁡ 5000 3 ln ⁡ 5

t = 9,218846959

Logo, a população chega a 200000 células em 9,21884695 horas.

Resposta

(a) P 0 = 120   bactérias.

(b) P t = 120 5 t .

(c) P 5 =   6708,203932 bactérias.

(d) P ' 5 = 5398,218867 bactérias por hora.

(e) t = 9,218846959 horas.

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