Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 24
Uma curva passa pelo ponto , e a inclinação em qualquer ponto é . Prove que a curva é uma catenária.
Passo 1
A questão quer que provemos que a curva que passa pelo ponto e tem inclinação igual a em todos os pontos é uma catenária. Para isso, vamos achar a equação da curva e ver se ela obedece a equação de catenária.
Para começar o problema precisamos montar uma equação diferencial. Para isso, você só precisa lembrar que a inclinação de uma curva é simplesmente sua derivada com relação a . Assim,
Portanto, trata-se de uma equação diferencial separável que pode ser reescrita como
Passo 2
Precisamos integrar a equação dos dois lados. Do lado direito, a integral é simples:
Do lado esquerdo, basta recorrer as fórmulas do teorema 9.8.4 apresentadas nesta seção:
*Você poderia tentar resolver a integral na raça com uma substituição trigonométrica, mas a ideia dessa seção é usar as fórmulas prontas em termos das funções hiperbólicas inversas!
**Note que eu só considerei a constante arbitrária em uma das integrações. Esse é o procedimento padrão na resolução de equações diferenciais separáveis.
Assim, a solução da equação é
Portanto,
Passo 3
Agora precisamos achar a constante . Para isso, vamos usar a informação de que a curva passa pelo ponto . Assim, quando , temos que :
Portanto, temos que
Essa é precisamente a expressão de curva catenária!
Resposta
Demonstração.