Uma curva passa pelo ponto (0, a) , a > 0 e a inclinação em qualquer ponto é raiz((y^2) / (a^2) - 1) . Prove que a curva é uma catenária.

Passo 1

A questão quer que provemos que a curva que passa pelo ponto ( 0 , a ) e tem inclinação igual a y 2 a 2 - 1 em todos os pontos é uma catenária. Para isso, vamos achar a equação da curva e ver se ela obedece a equação de catenária.

Para começar o problema precisamos montar uma equação diferencial. Para isso, você só precisa lembrar que a inclinação de uma curva y = y ( x ) é simplesmente sua derivada com relação a x . Assim,

d y d x = y 2 a 2 - 1 = y 2 - a 2 a

Portanto, trata-se de uma equação diferencial separável que pode ser reescrita como

d y y 2 - a 2 = d x a

Passo 2

Precisamos integrar a equação dos dois lados. Do lado direito, a integral é simples:

∫ d x a = x a + C

Do lado esquerdo, basta recorrer as fórmulas do teorema 9.8.4 apresentadas nesta seção:

∫ d y y 2 - a 2 = cosh - 1 ⁡ y a

*Você poderia tentar resolver a integral na raça com uma substituição trigonométrica, mas a ideia dessa seção é usar as fórmulas prontas em termos das funções hiperbólicas inversas!

**Note que eu só considerei a constante arbitrária em uma das integrações. Esse é o procedimento padrão na resolução de equações diferenciais separáveis.

Assim, a solução da equação é

cosh - 1 ⁡ y a = x a + C

Portanto,

y a = cosh ⁡ x a + C

Passo 3

Agora precisamos achar a constante C . Para isso, vamos usar a informação de que a curva passa pelo ponto ( 0 ,   a ) . Assim, quando x = 0 , temos que y = a :

1 = cosh ⁡ C ⇒ C = 0

Portanto, temos que

y = a cosh ⁡ x a

Essa é precisamente a expressão de curva catenária!

Resposta

Demonstração.

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