Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 58
Calcule a integral definida.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão pede pra gente calcular a seguinte integral definida:
Para isso, vamos analisar direitinho qual a função que estamos querendo integrar e ver se existe uma maneira de escrevê-la de forma mais simplificada.
Isso pode ajudar a gente na integração.
Como se trata de uma função formada por duas funções trigonométricas que estão sendo multiplicadas, podemos trabalhar com as relações trigonométricas na simplificação.
Depois disso, faremos a integração e aplicaremos os limites para calcular seu valor definido.
Vem que te mostro tudinho no nosso passo a passo.
Passo 2
Temos que resolver essa integral aqui:
E para simplificar um pouco a nossa vida, podemos lembrar que:
E que
Então a função que estamos integrando pode ser escrita na forma:
Então a nossa integral fica:
Maravilha. Isso já ajuda bastante a gente.
Passo 3
Agora vamos resolver essa nova integral!
O problema aqui é que a gente não consegue resolver ela direto usando as primitivas. Então vamos usar uma técnica de integração chamada Regra da Substituição.
Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um, podemos então usar a mudança de variável:
Dica: o melhor é aquele que simplifica a nossa integral! Além disso a derivada de deve estar dentro da integral.
Derivamos:
Fazendo a substituição a integral fica:
Com fizemos uma mudança de variáveis, temos que mudar os limites de integração. Assim:
Então:
Passo 4
Beleza, mas ainda assim a gente não consegue resolver essa integral! Vamos então fazer outra substituição:
De novo precisamos mudar as variáveis:
Substituindo:
E simplificando, teremos:
Passo 5
Agora sim a gente pode integrar usando a integração de potência:
Lembrando que
Para .
Assim, nossa integral será:
Ou melhor:
E aplicando os limites de integração, teremos:
Lembrando que:
e
Então, desta forma:
Prontinho!