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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 58

Calcule a integral definida.

∫ 1 / 6 1 / 2 c o s s e c   π t   c o t g   π t   d t

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão pede pra gente calcular a seguinte integral definida:

∫ 1 / 6 1 / 2 csc ⁡ π t   cot ⁡ π t   d t

Para isso, vamos analisar direitinho qual a função que estamos querendo integrar e ver se existe uma maneira de escrevê-la de forma mais simplificada.

Isso pode ajudar a gente na integração.

Como se trata de uma função formada por duas funções trigonométricas que estão sendo multiplicadas, podemos trabalhar com as relações trigonométricas na simplificação.

Depois disso, faremos a integração e aplicaremos os limites para calcular seu valor definido.

Vem que te mostro tudinho no nosso passo a passo.

Passo 2

Temos que resolver essa integral aqui:

∫ 1 / 6 1 / 2 csc ⁡ π t   cot ⁡ π t   d t

E para simplificar um pouco a nossa vida, podemos lembrar que:

csc ⁡ π t = 1 sin ⁡ π t

E que

cot ⁡ π t = cos ⁡ π t sin ⁡ π t

Então a função que estamos integrando pode ser escrita na forma:

csc ⁡ π t   cot ⁡ π t = 1 sin ⁡ π t cos ⁡ π t sin ⁡ π t = cos ⁡ π t sin 2 ⁡ π t

Então a nossa integral fica:

∫ 1 / 6 1 / 2 cos ⁡ π t sin 2 ⁡ π t   d t

Maravilha. Isso já ajuda bastante a gente.

Passo 3

Agora vamos resolver essa nova integral!

∫ 1 / 6 1 / 2 cos ⁡ π t sin 2 ⁡ π t   d t

O problema aqui é que a gente não consegue resolver ela direto usando as primitivas. Então vamos usar uma técnica de integração chamada Regra da Substituição.

Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x , podemos então usar a mudança de variável:

u = π t

Dica: o melhor u é aquele que simplifica a nossa integral! Além disso a derivada de u deve estar dentro da integral.

Derivamos:

d u d t = π → d t = 1 π   d u

Fazendo a substituição a integral fica:

∫ a b cos ⁡ u sin 2 ⁡ u   1 π   d u = 1 π ∫ a b cos ⁡ u sin 2 ⁡ u   d u

Com fizemos uma mudança de variáveis, temos que mudar os limites de integração. Assim:

u = π t

u = π 1 2

u = π 1 6

Então:

1 π ∫ π / 6 π / 2 cos ⁡ u sin 2 ⁡ u   d u

Passo 4

Beleza, mas ainda assim a gente não consegue resolver essa integral! Vamos então fazer outra substituição:

1 π ∫ π / 6 π / 2 cos ⁡ u sin 2 ⁡ u   d u

v = sin ⁡ u

d v d u = cos ⁡ u → d u = 1 cos ⁡ u   d v

De novo precisamos mudar as variáveis:

v = sin ⁡ u

v = sin ⁡ π 2

v = sin ⁡ π 6

Substituindo:

1 π ∫ sin ⁡ π / 6 sin ⁡ π / 2 cos ⁡ u v 2   1 cos ⁡ u   d v

E simplificando, teremos:

1 π ∫ sin ⁡ π / 6 sin ⁡ π / 2 1 v 2   d v = 1 π ∫ sin ⁡ π / 6 sin ⁡ π / 2 v - 2   d v

Passo 5

Agora sim a gente pode integrar usando a integração de potência:

Lembrando que

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Para n ≠ - 1 .

Assim, nossa integral será:

1 π ∫ sin ⁡ π / 6 sin ⁡ π / 2 v - 2   d v = 1 π v - 1 - 1 sin ⁡ π / 6 sin ⁡ π / 2

Ou melhor:

1 π - 1 v sin ⁡ π 6 sin ⁡ π 2

E aplicando os limites de integração, teremos:

= 1 π - 1 sin ⁡ π / 2 - - 1 sin ⁡ π / 6

Lembrando que:

1 s e n   π / 2 = 1 1 = 1

e

1 s e n   π / 6 = 1 1 / 2 = 2

Então, desta forma:

∫ 1 / 6 1 / 2 csc ⁡ π t   cot ⁡ π t   d t = 1 π

Prontinho!

Resposta

∫ 1 / 6 1 / 2 csc ⁡ π t   cot ⁡ π t   d t = 1 π

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