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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 12

Expresse a integral indefinida em termos de uma função hiperbólica inversa e como um logaritmo natural.

∫ 1 25 x 2 + 9   d x

Passo 1

A questão pede para expressarmos a integral em termos de funções hiperbólicas. Note que não é pedido para calcularmos a integral, devemos apenas expressar o resultado em termos das funções hiperbólicas. Para isso, você precisa dar uma olhada no teorema 9.8.4.

Neste caso, temos

I = ∫ 1 25 x 2 + 9   d x

No teorema 9.8.4 desta seção do livro, é dado que

∫ 1 a 2 + u 2   d u = s e n h - 1 u a + C = ln ⁡ u + a 2 + u 2 + C

Note que a integral que queremos calcular não é bem essa do teorema, então teremos que fazer umas mudanças nela:

I = ∫ 1 5 x 2 + 9   d x

Fazendo u = 5 x , temos que

I = 1 5 ∫ 1 9 + u 2   d u

Passo 2

Portanto, usando a = 3 na expressão do teorema 9.8.4, temos que

I = 1 5 s e n h - 1 u 3 + C = 1 5 ln ⁡ u + 9 + u 2 + C

Lembrando que u = 5 x , temos que

I = 1 5 s e n h - 1 5 x 3 + C = 1 5 ln ⁡ 5 x + 25 x 2 + 9 + C

Resposta

1 5 s e n h - 1 5 x 3 + C = 1 5 ln ⁡ 5 x + 25 x 2 + 9 + C

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