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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 25

Um homem com um paraquedas salta de um avião e quando o paraquedas se abre, sua velocidade é de 60   m / s . Se v   m / s for sua velocidade t   s após a abertura do paraquedas

324 g ⋅ d v d t = 324 - v 2

Resolva essa equação para obter

t = 18 g c o t a n h - 1 v 18 - c o t a n h - 1 10 3

Passo 1

A questão pede para resolvermos a equação diferencial dada sujeita a condição inicial que para t = 0 , v = 60 para obtermos a velocidade do homem em função do tempo após a abertura do paraquedas.

Trata-se de uma equação diferencial separável, de modo que

d v 324 - v 2 = g 324   d t

Agora precisamos integrar dos dois lados. A integral na velocidade vai de 60 até v , enquanto no tempo vai de 0 até t :

∫ 60 v d v 324 - v 2 = g 324 ∫ 0 t d t = g t 324

Passo 2

Para calcular a integral na velocidade, vamos usar a uma das fórmulas do teorema 9.8.4 desta seção com a = 18 :

∫ 1 a 2 - u 2   d u = 1 a c o t a n h - 1 u a

Assim,

∫ 60 v d v 324 - v 2 = 1 18 c o t a n h - 1 u 18 60 v = 1 18 c o t a n h - 1 v 18 - c o t a n h - 1 60 18

Passo 3

Portanto, depois de integrar ambos os lados da equação, temos que

1 18 c o t a n h - 1 v 18 - c o t a n h - 1 60 18 = g t 324

Assim, isolando t :

t = 18 g c o t a n h - 1 v 18 - c o t a n h - 1 10 3

Resposta

Demonstração.

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