Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 57
Calcule a integral definida.
Passo 1
Devemos aqui calcular a integral definida
usando algum tipo de substituição.
Para a substituição pegamos parte dos fatores que estão sendo integrados e chamamos de .
Para substituir o restante, encontramos a diferencial de encontrando sua derivada em função de .
E então substituir a diferencial de .
Outra coisa importante que podemos usar é que para a integral definida, podemos mudar os limites de integração quando fazemos uma substituição.
Passo 2
Antes de efetivamente calcularmos a integral, vamos escrever a tangente como seno sobre cosseno:
Agora vamos escrever
Vamos fazer isso, pois temos a relação trigonométrica:
De forma que:
E então temos:
𝐴ssim,
Como sabemos que a derivada do cosseno é menos seno, vamos fazer a substituição
Assim,
Passo 3
Sabemos que
E que:
e também que para
e para
Assim, a integral fica
Note que os limites de integração são iguais, então a integral já é automaticamente nula.
E você não precisa nem calcular!