Enunciado

Uma curva C no plano reflete os raios de luz de tal modo que todo raio L paralelo ao eixo y é refletido para um único ponto 0. Determine a equação diferencial para a função y = f ( x ) que descreve a forma da curva C. (O fato de o ângulo de incidência ser igual ao ângulo de reflexão é um princípio da ótica.) [Sugestão: a Figura 1.22 mostra que a inclinação da reta tangente em P ( x , y ) é π 2 - θ e podemos escrever ϕ = 2 θ . (Por quê?). Não tenha receio de usar as identidades trigonométricas.]

Passo 1

Nesse problema, temos o seguinte esquema

Vamos entender o que acontece: quando um raio de sol ( L ) é paralelo ao eixo y e bate na curva C , o seu reflexo bate na origem, sacou?

E a gente quer a equação diferencial para y = f ( x ) , que é a equação da curva C .

Passo 2

Vamos começar comprovando a informação do enunciado de que ϕ = 2 θ . Para isso, vamos levar a reta de L até o eixo x :

Os ângulos em vermelho são iguais, pois são opostos pelo vértice.

E aí, vamos ignorar a reta tangente rapidinho e imaginar esses dois triângulos:

Por semelhança de triângulos, temos que

ϕ = 2 θ

E por trigonometria, temos ainda que

tan ⁡ 2 θ = C O C A

tan ⁡ 2 θ = x y

Passo 3

Outra informação que temos é que a inclinação da reta tangente à curva C no ponto P ( x , y ) é π 2 - θ .

O que a inclinação da reta tangente representa mesmo???.......

Issooo, a derivada!! Então olha só mais um dado pro exercício:

d y d x = tan ⁡ π 2 - θ

Usando que tan ⁡ a = s e n a c o s ⁡ ( a ) :

d y d x = s e n π 2 - θ c o s π 2 - θ

Mais duas identidades trigonométricas que vamos usar: s e n a - b = s e n a . cos ⁡ b - s e n b . c o s ⁡ ( a ) e cos ⁡ a - b = cos ⁡ a . cos ⁡ b + s e n a . s e n ( b ) :

d y d x = s e n π 2 . cos ⁡ θ - s e n θ . cos ⁡ π 2 cos ⁡ π 2 . cos ⁡ θ + s e n π 2 . s e n ( θ )

d y d x = cos ⁡ θ s e n ( θ )

Então:

d y d x = cot ⁡ θ

E

d x d y = tan ⁡ θ

Passo 4

Então vamos lá utilizar as informações que conseguimos até agora

Temos

tan ⁡ 2 θ = x y

Por identidade trigonométrica, temos que tan ⁡ 2 a = 2 . t a n ⁡ ( a ) 1 - t a n ² ( a ) :

2 . t a n ⁡ ( θ ) 1 - t a n ² ( θ ) = x y

Mas vimos no passo anterior que tan ⁡ θ = d x d y :

2 . d x d y 1 - d x d y 2 = x y

Multiplicando em cruz:

2 y d x d y = x . 1 - d x d y 2

2 y d x d y = x - x d x d y 2

E, por fim, reformulando:

x d x d y 2 + 2 y d x d y = x

Resposta

x d x d y 2 + 2 y d x d y = x

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