Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.6 - Ex. 2
Uma curva tem equação . Encontre o comprimento da curva do ponto ao ponto .
Passo 1
Essa questão tem uma pegadinha. Provavelmente uma primeira coisa que passa na nossa cabeça é fazer:
E ai parametrizar:
Mas pera, assim ficamos com dois valores possíveis de . Complicado parametrizar assim né? Veja bem, se fizermos o contrário:
Não teríamos esse problema! Então uma boa parametrização seria:
E logo:
Como queremos o comprimento da curva do ponto ao ponto , basta achar o valor do parâmetro nesses pontos. No caso, como , basta olhar pra coordenada esses pontos pra achar o valor: no caso, até .
Passo 2
O comprimento da curva, pela fórmula, será:
Nossa próxima etapa é importantíssima: montar a expressão de. Começamos então derivando e calculando a norma de :
Tem coisa ainda pra fazer aí. Dá uma olhada nisso aqui, seja:
Ou seja, temos que , confirmando que é uma função par. Pra funções pares, vale:
Só que aí temos um outro problema galera: não tá definido! A forma mais certa de calcular esse comprimento é:
Show, vamos partir daqui então.
Passo 3
Vamos por enquanto esquecer os limites de integração, beleza? E olhar só pra integral:
Pra resolver esse cara vamos ter que ser criativos. Vamos começar com uma substituição simples:
Da substituição simples que escolhemos, tiramos ainda:
Podemos ainda manipular:
A integral fica:
O que dá pra manipular um pouquinho mais, obtendo:
Passo 4
Ok, mas falta coisa ainda. Podemos fazer uma outra substituição simples:
A integral fica:
Voltando pra variável :
E voltando pra variável :
Passo 5
Agora sim galera, agora vamos olhar pros limites de integração! Temos:
Só que o comprimento vai ser: