Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 25a
Escreva a função comprimento de arco de:
a)
Passo 1
A ideia nessas questões de calcular a função comprimento de arco da curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:
Passo 2
Incialmente, vamos encontrar . Vem comigo!
Derivando,
Logo,
Passo 3
Agora que já encontramos , vamos ver como fica o modulo desse vetor!
Assim,
Mas lá da trigonometria a gente sabe o seguinte:
Logo,
Portanto,
Passo 4
Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:
Tirando o da integral:
Integrando:
Resposta
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Seja γ : α ,β → R 2 uma curva dada em coordenadas polares por ρ = ρ θ ,θ ∈ α ,β .(Observação: trata-se da curva dada por x = ρ θ cos θ ,y = ρ θ sin θ ,θ ∈ α , β ). Supondo que ρ = ρ θ tenha deriva
Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares (Utilize o exercício 2) a )ρ = θ , θ ∈ 0 , π
Calcule o comprimento da curva dada:a ) gamma (t) = (t cos t , t sin t) , t in [0 , 2 pi]
Seja γ : I → R 2 parametrizada pelo comprimento de arco (isto é: γ ' s = 1 para todo s ∈ I ).a) Verifique que, para todo s ∈ I ,k s = γ ' ' s , onde k s é a curvatura em γ s .b) Prove que se k s = 0 ,
Seja γ : I → R 2 uma curva derivável até a 2ª ordem, com γ ' t ≠ 0 no intervalo I . Seja s t = ∫ t 0 t γ ' u d u , t ∈ I , com t 0 fixo em I . Sejam, ainda, T → t = γ ' t γ ' t o versor de γ ' t e t →