Escreva a função comprimento de arco de:

a) r(t) = (sen(t/2), cos(t/2), 2t)

Passo 1

A ideia nessas questões de calcular a função comprimento de arco da curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:

l t = ∫ 0 t r ' → t d t

Passo 2

Incialmente, vamos encontrar r ' → t . Vem comigo!

r → t = s e n t 2 , cos ⁡ t 2 ,   2 t

Derivando,

r ' → t = 1 2 cos ⁡ t 2 , 1 2 - s e n t 2 ,   2

Logo,

r ' → t = 1 2 cos ⁡ t 2 , - 1 2 s e n t 2 ,   2

Passo 3

Agora que já encontramos r ' → t , vamos ver como fica o modulo desse vetor!

r ' → t = 1 2 cos ⁡ t 2 2 + - 1 2 s e n t 2 2 + 2 2

Assim,

r ' → t = 1 4 cos 2 ⁡ t 2 + 1 4 s e n 2 t 2 + 4

Mas lá da trigonometria a gente sabe o seguinte:

cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Logo,

r ' → t = 1 4 + 4

Portanto,

r ' → t = 17 2  

Passo 4

Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:  

l t = ∫ 0 t 17 2   d t

Tirando o 17 / 2 da integral:

l t = 17 2 ∫ 0 t d t

Integrando:

l t = 17 2 t

Resposta

l t = 17 2 t

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