Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:h) r → t = e t ,e - t ,t 2 para t ∈ 0 ,1

Enunciado

A ideia nessas questões de calcular o comprimento do arco de uma curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:

Essa formula nos dá o comprimento da curva entre os pontos e . Repare que é o modulo do vetor . Então vamos lá!

Agora já temos uma expressão para . Então bora derivar para acharmos !

Derivando,

Como já temos , vamos ver como fica o modulo desse vetor!

Logo,

Opa, mas essa expressão dentro da integral ta com uma cara conhecia. Se liga só:

Simplificando:

Viu que é a mesma coisa? Então vamos substituir na expressão de :

Portanto,

Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:

Como estamos pegando entre os pontos e :

Integrando, temos o seguinte:

Aplicando entre os pontos e :

Portanto,