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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 25b

Escreva a função comprimento de arco de:

b) vec r (t) = (cos (2 t) , s e n (2 t) , 4)

Passo 1

A ideia nessas questões de calcular a função comprimento de arco da curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:

l (t) = int_0^t |vec r^' (t)| d t

Passo 2

Incialmente, vamos encontrar vec r^' (t) . Vem comigo!

vec r (t) = (cos (2 t) , s e n (2 t) , 4)

Derivando,

vec r^' (t) = (2 (- s e n (2 t)) , 2 cos (2 t) , 0)

Logo,

vec r^' (t) = (- 2 s e n (2 t) , 2 cos (2 t) , 0)

Passo 3

Agora que já encontramos vec r^' (t) , vamos ver como fica o modulo desse vetor!

|vec r^' (t)| = sqrt((- 2 s e n (2 t))^2 + (2 cos (2 t))^2 + 0^2)

Assim,

|vec r^' (t)| = sqrt(4 s e n^2 (2 t) + 4 cos^2 (2 t))

Mas lá da trigonometria a gente sabe o seguinte:

cos^2 (t) + s e n^2 (t) = 1

Logo,

|vec r^' (t)| = sqrt(4)

Portanto,

|vec r^' (t)| = 2

Passo 4

Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:

l (t) = int_0^t 2 d t

Tirando o 2 da integral:

l (t) = 2 int_0^t d t

Integrando:

l (t) = 2 t

Resposta

l (t) = 2 t

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