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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.6 - Ex. 7b

Uma curva é a união de duas curvas C 1 e C 2 , onde C 1 é um segmento de reta e C 2 é uma porção de circunferência, conforme a figura 1.16 . Pede-se:

b ) Comprimento total de C .

Passo 1

Bom galera, a gente já tem as retas parametrizada que encontramos na letra a :

σ 1 = t , t ;   - 2 ≤ t ≤ 2

σ 2 = 2 cos ⁡ t , 2 + 2 sin ⁡ t ;   0 ≤ t ≤ 5 π 4

Agora, a gente vai usar a fórmula e encontramos os comprimentos de cada parte separadamente:

∫ a b σ '   d t

Passo 2

Belezinha, vamo começar aplicando σ 1 na formula e encontrar o primeiro comprimento:

∫ - 2 2 ( t , t ) '   d t

= ∫ - 2 2 ( 1,1 )   d t

= ∫ - 2 2 1 + 1   d t

= ∫ - 2 2 2   d t

= 2 t - 2 2 = 2 2 + 2

C 1 = 4 2

Passo 3

Agora, a gente faz o mesmo para σ 2 :

∫ 0 5 π 4 2 cos ⁡ t , 2 + 2 sin ⁡ t '   d t

= ∫ 0 5 π 4 - 2 sin ⁡ t , 2 cos ⁡ t   d t

= ∫ 0 5 π 4 4 sin 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t   d t

= ∫ 0 5 π 4 4 ( sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t )   d t

= ∫ 0 5 π 4 4 ( 1 )   d t

C 2 = 2 t 0 5 π 4 = 5 π 2

E só somamos os comprimentos:

C 1 + C 2 = 4 2 + 5 π 2

Resposta

4 2 + 5 π 2

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Escrever a função comprimento de arco de: r → t = c o s 2 t ,s e n 2 t ,t ∈ [ 0 ,π ]
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas: r → t = ( cos ⁡ 2 t ,s e n 2 t ,2 t )
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas: r → t = 2 t , 2 3 8 t 3 ,t 2 ,t ∈ [ 0,3 ]
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas: r → t = ( 3 t - 1 ,t + 2 )
Escrever a função comprimento de arco de: r → t = cos 3 ⁡ t ,s e n 3 t , 3 4 cos ⁡ 2 t