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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.6 - Ex. 6

Dois pontos A e B num círculo unitário de centro na origem determinam um setor circular A O B . Mostre que o comprimento do arco A B é duas vezes a área do setor A O B .

Passo 1

Bom galera, vamos começar calculando a o comprimento do arco A B , pra isso usamos a fórmula geral do comprimento de arcos:

∫ a b σ '   d θ

Logo ficamos com:

∫ A B r sin ⁡ θ , r cos ⁡ θ '   d θ

Passo 2

Belezinha, agora resolvemos isso:

∫ A B r sin ⁡ θ , r cos ⁡ θ '   d θ

= ∫ A B ( r cos ⁡ θ , - r sin ⁡ θ )   d θ

= ∫ A B r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ   d θ

= ∫ A B r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ )   d θ

= ∫ A B r 2 ( 1 )   d θ

= ∫ A B r   d θ

= r θ A B

C = r ( B - A )

Lembrando que A e B estão em radiano.

Passo 3

Show de bolinhas, já a área do setor circular é dado pela fórmula:

A = r 2 α 2

= r 2 ( B - A ) 2

Passo 4

Por fim, comparamos as duas equações lembrando que como o circulo é unitário temos r = 1 , assim ficamos com:

C A = r ( B - A ) r 2 ( B - A ) 2

→ C A = ( 1 ) ( B - A ) ( 1 ) 2 ( B - A ) 2

→ C A = B - A ⋅ 2 ( B - A )

→ C A = 2

→ C = A ⋅ 2

Então vemos que o comprimento é o dobro do setor circular.

Resposta

C = A ⋅ 2

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