O custo, em dólares, da produção de x jardas de um certo tecido é C x = 1200 + 12 x - 0,1 x 2 + 0,0005 x 3 e a companhia descobre que se vender as x jardas ela poderá cobrar p x = 29 - 0,00021 x dólares por jarda do tecido.Use o cálculo para encontrar o nível de produção para o lucro máximo.

Enunciado

Tudo joia?

Para encontrar o lucro máximo precisamos pensar em duas coisas:

Primeira: O lucro é a receita menos os custos, em matematiquês fica:

Segunda: Para encontrarmos os máximos (e os mínimos) temos que derivar e igualar a . Nesse caso , mas para isso temos:

E quando será zero? Quando:

Nossa função dada pelo enunciado é:

E esse é o plano, vamos lá?

Primeiro vamos derivar o rendimento. Já calculamos no item (a) :

Aplicando a regra da potência:

Derivando:

Agora derivamos o custo , também aplicando a regra da potência:

Agora, vamos igualar as derivadas do rendimento e do custo , para encontrar o valor de para o qual o lucro é máximo.

Igualamos as duas derivadas:

Passando tudo para um único lado:

Agora precisamos resolver essa equação de segundo grau:

Como vimos no item , teríamos o lucro máximo próximo de , então o nosso valor é: