O custo, em dólares, da produção de x jardas de um certo tecido é C(x) = 1200 + 12x - 0,1*x^2 + 0,0005*x^3 e a companhia descobre que se vender as x jardas ela poderá cobrar p(x) = 29 - 0,00021*x dólares por jarda do tecido.

  1. Use o cálculo para encontrar o nível de produção para o lucro máximo.

Passo 1

Tudo joia?

Para encontrar o lucro máximo precisamos pensar em duas coisas:

Primeira: O lucro é a receita menos os custos, em matematiquês fica:

L x = R x - C ( x )

Segunda: Para encontrarmos os máximos (e os mínimos) temos que derivar e igualar a 0 . Nesse caso L ' x = 0 , mas para isso temos:

L ' x = R ' x - C ' ( x )

E quando será zero? Quando:

R ' x = C ' ( x )

Nossa função dada pelo enunciado é:

C x = 1200 + 12 x - 0,1 x 2 + 0,0005 x 3

E esse é o plano, vamos lá?

Passo 2

Primeiro vamos derivar o rendimento. Já calculamos no item (a) R ( x ) :

R x = 29 x - 0,00021 x 2

Aplicando a regra da potência:

f x = x n → f ' x = n x n

Derivando:

R ' x = 29 - 0,00042 x

Agora derivamos o custo C ( x ) , também aplicando a regra da potência:

C x = 1200 + 12 x - 0,1 x 2 + 0,0005 x 3

C ' x = 12 - 0,2 x + 0,0015 x 2

Passo 3

Agora, vamos igualar as derivadas do rendimento R ( x ) e do custo C ( x ) , para encontrar o valor de x para o qual o lucro é máximo.

Igualamos as duas derivadas:

R ' x = C ' ( x )

⇒ 29 - 0,00042 x = 12 - 0,2 x + 0,0015 x 2

Passando tudo para um único lado:

⇒ 0 = 0,0015 x 2 - 0,2 x + 0,00042 x + 12 - 29

⇒ 0,0015 x 2 - 0,19958 x - 17 = 0

Agora precisamos resolver essa equação de segundo grau:

Δ = b 2 - 4 a c = - 1,9958 2 - 4 0,0015 - 17 = 2,0978

x = - b ± Δ 2 a = 1,9958 ± 2,0978 0,0003 = 1,9958 ± 1,4484 0,0003

⇒ x ≈ 182   o u   x ≈ 1148

Como vimos no item ( a ) , teríamos o lucro máximo próximo de x = 190 , então o nosso valor é:

x ≈ 182

Resposta

x ≈ 182   j a r d a s

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