Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.7 - Ex. 53
O custo da produção de quilogramas de ouro provenientes de uma nova mina é dólares.
- Qual o significado da derivada ? Quais são suas unidades?
- O que significa ?
- Você acha que os valores de vão crescer ou decrescer a curto prazo? E a longo prazo? Explique.
Passo 1
E aí pessoal, tranquilidade? Essa questão aqui é beeem conceitual, a gente não vai precisar fazer nenhuma conta! Mas não menospreza ela não, viu – entender os conceitos é tão importante quanto fazer as contas! Dito isso, bora meter ficha!
Precisamos interpretar a derivada da função o seu valor em um ponto específico. E depois tentar dizer se ela é crescente ou decrescente.
Bem, vamos lembrar o que é derivada!
A derivada de uma grandeza é a taxa de variação instantânea de uma grandeza. Ou seja é a variação de sobre a variação de . E eu disse que é instantânea, porque ela assume valores dizerentes em cada ponto.
Passo 2
- Se a derivada é a taxa de variação de uma grandeza e se é o custo de produção de , então indica o quanto o custo de produção varia com relação ao quilograma de ouro .
- Analisando a expressão , sabemos que diz respeito à quantidade de ouro e é uma taxa de variação.
- Bora raciocinar: inicialmente, ao descobrir a mina, ela vai ter muuuuito ouro, certo? Então cada operário consegue extrair uma quantidade absurda de ouro em pouco tempo, tendo um custo de produção por quilograma baixo.
Lembre-se: a derivada é uma relação sempre entre e sua variável ! A sua unidade, portanto, será a razão das duas unidades
Passo 3
Logo, podemos concluir que é a taxa de variação do custo de produção do ouro, em , após a produção de de ouro. De forma mais prática, é o preço pra produzir a unidade 51.
Passo 4
Conforme o tempo vai passando e o ouro vai ficando mais escasso, você vai pagar o mesmo salário para um minerador, mesma quantidade de energia, equipamento e tudo mais por uma quantidade menor de ouro extraída do que antes. Logo, o custo de produção com o tempo aumenta, entendeu?
Resumo da ópera: a curto prazo, os valores de vão crescer e, a longo prazo, eles vão decrescendo!
Resposta
- A derivada indica o quanto o custo de produção varia com relação ao quilograma de ouro , em .
- é a taxa de variação do custo de produção do ouro, em , após a produção de de ouro.
- a curto prazo, os valores vão crescer (a mina começa a ser explorada a todo o vapor, conseguindo produzir muito ouro) e, a longo prazo, eles v��o decrescendo (o ouro vai ficando mais difícil de ser encontrado e extraído na mina).